martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

On peut remarquer que dans le cas d’une chaîne irréductible, tous les états communiquent,
ils sont donc tous transients ou tous récurrents.
U(y, x) = P y (T x < ∞)U(x, x)
sont finis ou infinis en même temps puisque P y (T x < ∞) > 0.
2.10 Mesure invariante
Définition 2.33 On appelle mesure invariante une mesure non nulle µ sur (E, E) telle
que µQ = µ, c’est à dire ∀x ∈ E, ∑ y∈E µ(y)Q(y, x) = µ(x).
Hors programme : plus généralement, si E n’est pas discret, µ est invariante si elle est
positive non nulle σ−finie et ∫ µ(dy)Q(y, dx) = µ(dx).
Lemme 2.34 Si X est une chaîne de Markov irréductible qui possède une probabilité
invariante, alors X est récurrente.
Preuve : si µ est invariante, alors pour tout n, µ = µQ n , soit :
∀n, ∀x ∈ E, µ(x) = ∑ y∈E
µ(y)Q n (y, x).
Supposons la chaîne transiente : il existe x avec U(x, x) < ∞. Alors pour tout y, U(y, x) <
∞ donc Q n (y, x) → 0 quand n tend vers l’infini. Comme Q n (y, x) ≤ 1, on peut appliquer
le théorème de convergence dominée et passer à la limite ci-dessus, soit µ(x) = 0, ∀x,
ce qui n’est pas possible (par définition, µ est non nulle). Donc la chaîne n’est pas
transiente : il existe au moins un état récurrent ; comme X est irréductible, tous les états
communiquent et sont donc tous récurrents.
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Proposition 2.35 Si X est une chaîne de Markov irréductible et récurrente et si f est
une fonction excessive, f est constante.
Preuve : on a vu que si f est excessive, (f(X n ) = f(x), n ≥ 0) P x presque sûrement.
La chaîne est récurrente : soit y ≠ x, ce sont des points récurrents, x conduit à y donc
il existe n tel que X n = y donc f(X n ) = f(y) P x presque sûrement, ceci nécessite que
f(x) = f(y).
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Voici la contraposée.
Corollaire 2.36 Si une chaîne irréductible admet une fonction excessive non constante,
elle est transiente.
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