martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

1 Martingales à temps discret
Voir le livre de Jacques NEVEU [6] ou [1] chapitre 3.
La théorie des martingales a son origine dans l’étude des jeux : elle modélise d’une
part le caractère aléatoire d’un phénomène mais aussi son évolution dans le temps. On
étudie ici le temps discret.
1.1 Définitions et premiers exemples
Définition 1.1 Soit un processus adapté X sur l’espace de probabilité filtré (Ω, A, (F n , n ∈
N), P) tel que pour tout entier n, X n est intégrable. On dit que X est une martingale si
pour tout entier n, E[X n+1 /F n ] = X n presque sûrement.
On dit que X est une sous-martingale si pour tout entier n, E[X n+1 /F n ] ≥ X n presque
sûrement.
On dit que X est une sur-martingale si pour tout entier n, E[X n+1 /F n ] ≤ X n presque
sûrement.
L’outil fondamental de ce chapitre, vu au premier semestre, est l’espérance conditionnelle
; il y a tout intérêt à se reporter au paragraphe 1.4 de [1] et au cours du premier
semestre de monsieur BARTHE.
1.1.1 Exemples et exercices
(a) Montrer que si H ∈ L 1 (Ω, A), X n = E[H/F n ] est une martingale sur l’espace de probabilité
filtré (Ω, A, (F n , n ∈ N), P).
(b) Soit (Z n , n ∈ N) une suite de variables aléatoires indépendantes et intégrables et
X n = ∑ n
i=1 Z i . Montrer que les tribus F X et F Z sont égales et
si pour tout entier n, E(Z n ) = 0, X = (X n ) est une martingale pour sa filtration naturelle,
si pour tout entier n, E(Z n ) ≥ 0, X = (X n ) est une sous-martingale pour sa filtration naturelle,
si pour tout entier n, E(Z n ) ≤ 0, X = (X n ) est une sur-martingale pour sa filtration naturelle.
(c) L’exemple le plus simple de théorie des jeux est celui où les variables aléatoires Z n
sont des variables aléatoires de loi de Bernoulli de paramètre p avec valeurs +1 et −1.
Alors, X n représente la fortune d’un joueur après n paris. C’est une martingale pour sa
filtration naturelle ; on l’appelle marche aléatoire.
Proposition 1.2 QC
Soit X une F-martingale. Alors
(a)∀n ≥ 0, ∀k ≥ 0, E[X n+k /F n ] = X n ; E[X n ] = E[X 0 ].
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