martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Corollaire 3.28 La variable N t suit une loi de Poisson de paramètre λt.
Preuve : L’événement (N t ≥ k) = (T k ≤ t). Or T k est une somme de k variables
indépendantes de loi exponentielles de paramètre λ, donc T k suit une loi Γ(k, λ). En
déduire en exercice la loi de N k .
•
3.6 Construction du processus de Poisson
On revient enfin sur le lien entre la définition (5) et la définition (3.2) : on montre
l’implication (3.2) implique (5). Sous la première définition, avec le paramètre λ > 0, et
la loi µ t loi de Poisson de paramètre λt, on construit par le théorème de Kolmogorov la
probabilité P sur l’espace canonique (N R+ , A) tribu cylindrique, telle que pour tout n,
pour tout n-uple de réels positifs ordonné (t 1 , · · · , t n ), N 0 = 0, la loi de
(N t1 , N t2 − N t1 , · · · , N tn − N tn−1 ) où N t est la t-ième projection canonique, est le produit
tensoriel ⊗ i=1,n µ ti −t i−1
. On a l’existence et l’unicité de P. On a vu brièvement au début du
chapitre que ceci est bien un processus de Poisson selon la définition (3.2). On le montre
ici plus précisément bien que pas entièrement.
1. On admet qu’il existe une version de l’application
Ω = N R+ → N ; ω ↦→ ω(t)
telle que t ↦→ ω(t) soit càd (théorie générale des processus).
2. Par construction de P, N t+s − N s est indépendante de N u pour tout u ≤ s, et donc
N t+s − N s est indépendante de F N s .
3. Par construction, N t+s − N s est de loi µ t qui ne dépend pas de s.
4. Il reste à prouver que les sauts sont de taille 1 ce que l’on a éludé au début du
chapitre....
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