martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

3.5 Propriétés fondamentales du processus de Poisson
On a maintenant tous les outils pour montrer les autres propriétés du processus de Poisson.
En particulier, le théorème 3.19 dit qu’un processus de Poisson est un Markov fort.
Théorème 3.22 Soit (N t , t ≥ 0) un processus de Poisson et T un F N -temps d’arrêt
preque sûrement fini. Alors, le processus X : t ↦→ N t+T − N T est un processus de Poisson
issu de 0 indépendant de F N T .
Preuve : (i) est vraie car X est aussi càd croissant, a les mêmes sauts que N.
(ii) et (iii) Pour tout s et tout t, X s+t −X t = N s+t+T −N t+T ; la tribu Fs
X
par (N u+T − N T , u ≤ s) donc contenue dans Fs+T N . Il vient
E[f(N s+t+T − N s+T )/F X s ] = E[E[f(N s+t+T − N s+T )/F N s+T ]/F X s ].
est engendrée
On pose Y = f(X t − X 0 ) ; alors f(N s+t+T − N s+T ) = f(N t − N) ◦ θ s+T = Y ◦ θ s+T , et
par la propriété de Markov E[f(N s+t+T − N s+T )/F N s+T ] = E[Y ◦ θ s+T /F N s+T ] = E[Y ◦
θ s+T /N s+T ] et par l’homogénéité = E[Y/N 0 ] = E[Y ] car N t −N 0 , donc Y, est indépendant
de N 0 pour t > 0.
En conclusion, on obtient que E[f(N s+t+T −N s+T )/Fs X ] = E[f(N t −N 0 )] d’où l’indépendance
des accroissements, et le fait qu’ils sont de même loi que ceux de N.
•
Théorème 3.23 On pose T 0 = 0 et on suppose N 0 = 0. Les variables aléatoires (S n =
T n − T n−1 ) sont indépendantes et de loi exponentielle (λ).
Preuve :
P(T n − T n−1 > t n−1 , · · · , T 1 > t 1 ) = E[Π n−1
i=1 1 {Ti −T i−1 >t i−1 }P(T n − T n−1 > t n−1 /F N T n−1
)
On utilise le théorème 3.22 à savoir que N t+Tn−1 − N Tn−1 est un processus de Poisson
indépendant de F N T n−1
:
P(T n − T n−1 > t n−1 /F N T n−1
) =
P[{N tn−1 +T n−1
− N Tn−1 = 0}/F N T n−1
] = P{N tn−1 − N 0 = 0} = P{T 1 > t n−1 } = e −λt n−1
.
Puis on effectue une récurrence.
•
Le corollaire suivant achève de montrer que la définition 3.2 implique la définition 5.
Rappelons que l’on peut supposer N 0 = 0.
Corollaire 3.24 La variable N t suit une loi de Poisson de paramètre λt.
59