martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

3.3 Temps de saut, temps d’arrêt
Rappel : N t − N t− = 0 ou 1.
On note T i les temps de saut successifs du processus. Comme N 0 = 0, T 1 (ω) = inf{t >
0, N t (ω) = 1} ; T n (ω) = inf{t > 0, N t (ω) = n}. C’est une suite croissante stricte (car N .
est cà d). On note S n = T n − T n−1 , S 1 = T 1 et on pose S 0 = 0.
Remarque 3.5 N t = ∑ n>0 1 {Tn≤t} : c’est le nombre de sauts avant t.
Comme on l’a vu pour les martingales à temps discret, on va introduire la notion de
filtration mais cette fois-ci à temps continu.
Définition 3.6 On appelle “filtration naturelle” du processus N la suite croissante de
tribus F t = σ{N s , s ≤ t}, de fait on complète chaque tribu par l’ensemble des négligeables
N et on peut montrer que la suite est continue à droite (cf[7]) :
F t = ∩ ε (σ{N s , s ≤ t + ε} ∨ N .
On dit qu’une filtration F est cà d dès que
∩ ε>0 F t+ε = F t .
C’est le cas ici par construction, simplement.
Définition 3.7 On appelle F-temps d’arrêt une variable aléatoire T à valeurs positives
telle que pour tout t ≥ 0, {T ≤ t} ∈ F t .
Par exemple :
Proposition 3.8 Les temps de sauts de N sont des F-temps d’arrêt.
Preuve : en exercice par récurrence et en utilisant la remarque
{T n > t} = {T n−1 > t} ∪ {T n−1 ≤ t < T n } = {T n−1 > t} ∪ {N t = n − 1}.
D’abord {T 1 > t} = {N t = 0} ∈ F t par définition de la filtration.
Supposons par récurrence que T n−1 est un F-temps d’arrêt ; soit t > 0,
{T n > t} = {T n−1 > t} ∪ {T n−1 ≤ t < T n } = {T n−1 > t} ∪ {N t = n − 1} ∈ F t . •
Proposition 3.9 Sous l’hypothèse H ces temps d’arrêt sont presque sûrement finis.
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