martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

3.2 Premières propriétés
1. Exercice : Si N est un processus de Poisson, t ↦→ M t = N t − N 0 est aussi un processus
de Poisson issu de 0 : M 0 = 0. en effet, on peut vérifier que les trois propriétés sont
préservées car M t+s − M t = N t+s − N t .
A partir de maintenant, on prendra en général N 0
Poisson issu de 0.
= 0, c’est à dire un processus de
2. Exercice : ∀n, ∀t 1 ≤, · · · , t n , la loi de (N t1 , · · · , N tn ) est l’image de µ t1 ⊗· · ·⊗µ tn−tn−1
par l’application f : x ↦→ (x 1 , x 1 + x 2 , · · · , x 1 + · · · + x n ).
C’est une conséquence du fait que (N t1 , · · · , N t1 ) = f(N ti −t i−1
) où les N ti −t i−1
sont des
variables aléatoires indépendantes de loi ⊗ i µ ti −t i−1
.
3.
Lemme 3.3 QC 8
Soit N un processus de Poisson (au sens de la définition 3.2) issu de 0 vérifiant l’hypothèse
H et soit G t (u) = E(u Nt ) la fonction génératrice de N t . Alors
1. ∀u ∈]0, 1[, t ↦→ G t (u) est càd et il existe une fonction C strictement positive sur
]0, 1[ telle que G t (u) = e −C(u).t .
2. Si N 0 = 0, il existe λ > 0 : P(N t − N 0 = 0) = e −λt .
Preuve : (i) l’application t ↦→ N t est continue à droite presque sûrement ; puis 0 < u < 1
implique 0 < u Nt < 1 et t ↦→ u Nt est continue à droite presque sûrement et bornée ; le
théorème de Lebesgue montre alors que t ↦→ G t (u) est continue à droite.
(ii) G t+s (u) = E[u N t+s−N s
u Ns = G t (u)G s (u) par (ii) et (iii) de la définition 3.2. De
plus N est issu de 0 montre que G 0 (u) = 1.
(iii) Par un théorème classique d’analyse, les trois faits : continuité à doite, G 0 (u) = 1
et G t+s = G t G s montre l’existence d’une constante positive C(u) telle que g t (u) = e −C(u)t .
L’application f : t ↦→ P(N t = 0) vérifie f(0) = 1 et f(s + t) = f(s)f(t) par le même
argument que pour 1. De plus elle est continue à droite : en effet, puisque N est croissant,
si une suite s n décroit vers t, la suite f(s n ) est croissante vers P(∪ n {N sn ) = 0}). Mais N
est à valeurs entière et càd : qd s n tend vers t, sur lévénement (N t = 0), il existe n à
partir duquel N sn = 0, et donc {N t = 0} = ∪ n {N sn ) = 0}, d’où la continuité à droite. •
Corollaire 3.4 H implique P(lim(N t = 0)) = 0.
Preuve : ∀k ≥ 0, P(N k = 0) = e −λk , ∑ k e −λk < ∞ et le lemme de Borel-Cantelli permettent
de conclure.
•
Avant de donner la loi de N t , on va s’occuper des temps de saut et des temps d’arrêt.
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