martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

- Soit C ∈ F ⊗ G : y ↦→ f(y) = ∫ G R(y, dz)1 C(y, z) est F-mesurable positive, alors
Q ⊗ R(x, C) = (Qf)(x) est E mesurable d’après le premier exercice.
- Soit x fixé dans E. Q ⊗ R(x, F × G) = ∫ F Q(x, dy) ∫ G R(y, dz) = 1.
Si C 1 ∩ C 2 = ∅ dans F ⊗ G, 1 C1 ∪C 2
= 1 C1 + 1 C2 et les deux mesures successives sont
additives.
∫
G R(y, dz)1 C n
(y, z)
Soit C n suite croissante d’événements de F⊗G, lim n 1 Cn = 1 C , ∀y ∈ F,
croit vers ∫ G R(y, dz)1 C(y, z) où C n (y, .) = {z ∈ G, (y, z) ∈ C n } par définition de la tribu
produit.
2.4 Transitions et lois conditionnelles
Soient deux variables aléatoires X et Y sur l’espace de probabilité (Ω, F, P), à valeurs
respectivement dans (E, E) et (F, F). On note µ la loi de X et Q une probabilité de
transition de (E, E) dans (F, F) telle que pour tout B ∈ F, Q(X, B) est une version de
P{Y ∈ B/X}. Ainsi, Q est une version de la loi conditionnelle de Y sachant X. (cf. cours
de F. Barthe).
On a alors pour f fonction mesurable sur (F, F) :
E[f(Y )/X] = Qf(X).
Cette dernière égalité montre que la loi de Y est µQ. En effet, E[f(Y )/X = x] = Qf(x)
que l’on intègre sur E selon la loi µ soit E[f(Y )] = ∫ E Qf(x)µ(dx) c’est à dire E[f(Y )] =
µQ(f).
En conclusion, un noyau de transition permet de définir une loi conditionnelle.
Bien entendu, si X et Y sont indépendantes, Q(x, B) ne dépend pas de x et vaut
P(Y ∈ B).
2.5 Chaînes de Markov
Définition 2.2 On appelle chaînes de Markov sur l’espace de probabilité (Ω, F, P), un
processus (X n , n ∈ N) à valeurs dans (E, E) tel que pour tout B ∈ F, et tout n ∈ N,
P(X n+1 ∈ B/X 0 , · · · , X n ) = P(X n+1 ∈ B/X n ).
Si E est fini ou dénombrable,
P{X n+1 = j/X 0 , · · · , X n } = Q(X n , j) ; P{X n+1 = j/X 0 = x 0 , · · · , X n = x n } = Q(x n , j)
avec Q la matrice de transition.
25