martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Preuve : par récurrence en exercice.
P{T 1 > t} = P{N t = 0} = e −λt ce qui montre que T 1 est de loi exponentielle de paramètre
λ donc presque sûrement fini.
Supposons par récurrence que T n−1 est presque sûrement fini. Ainsi,
∩ k≥1 (T n−1 > k) = ∅. Alors :
∩ k≥1 (T n > k) = ∩ k≥1 ({T n−1 > k} ∪ {N k = n − 1})
qui est une limite décroissante. Comme ∩ k≥1 (T n−1 > k) = ∅, cette limite est
∩ k≥1 {N k = n − 1} = {N k = n − 1∀k ≥ 1} ce qui contredit H en prenant le processus de
Poisson N k ′ = N k − (n − 1).
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La définition suivante est analogue à celle déjà vue en temps discret.
Définition 3.10 Pour tout F-temps d’arrêt T , on définit la tribu des événements antérieurs
à T :
F T = {A ∈ A, ∀t ≥ 0, A ∩ (T ≤ t) ∈ F t }.
Proposition 3.11 Si T est un F-temps d’arrêt, F T est une tribu et T est F T -mesurable.
Preuve en exercice (tout à fait analogue au cas discret).
Lemme 3.12 d’approximation fondamental : Soit T un F-temps d’arrêt et
Alors,
T n =
n2 n −1 ∑
k=0
k + 1
2 n 1 [ k
2 n , k+1
2 n [ (T ) + n1 [n,∞[(T ), n ≥ 1.
(i) (T n , n ≥ 1) est une suite de temps d’arrêt tels que ∀n, T n ≤ n,
(ii) ∀ω ∈ Ω, lim n T n (ω) = T (ω).
(iii) ∀ω ∈ {T < ∞}, ∃N(ω) tel que après N(ω), la suite (T n (ω)) est décroissante.
Preuve : par construction, T n ≤ n ; par ailleurs si T ≤ n, T n ≥ T, et remarquons que
0 ≤ T n − T ≤ 2 −n .
(i) Soit t ≥ n, {T n ≤ t} = {T n ≤ n} = Ω ∈ F t . Et si t < n, et k = [t2 n ], k2 −n ≤ t <
(k + 1)2 −n . Alors, {T n ≤ t} = {T n ≤ k2 −n } = {T < k2 −n } ∈ F k2 −n ⊂ F t .
(ii) Sur l’événement (T = ∞), T n = n tend vers l’infini.
On fixe ω ∈ {T < ∞}, pour n assez grand tel que T (ω) < n, (T n − T )(ω) ≤ 2 −n qui tend
vers 0.
(iii) Soit donc pour T (ω) < ∞, un entier N(ω) > T (ω), à partir de cet entier, la
suite est décroissante : en effet, soit k n (ω) = [T (ω)2 n ] : T n (ω) = (k n + 1)2 −n . Ainsi
2k n
≤ T (ω) < 2(kn+1) implique que T
2 n+1 2 n+1 n+1 (ω) = (2k n + 1)2 −(n+1) ≤ T n (ω).
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