martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Proposition 3.13 Soit sur un espace de probabilité filtré (Ω, F t ; t ∈ R + , P) un processus
stochastique càd F-adapté (X t , t ∈ R + ) à valeurs dans E sous ensemble discret de réels ;
T un F X -temps d’arrêt presque sûrement fini. Alors ω ↦→ X T (ω) (ω) est F T -mesurable.
Preuve : On utilise le lemme d’approximation précédent. Comme X est càd, et que T n
décroit vers T, la suite X Tn tend presque sûrement vers X T . Or, X est à valeurs discrètes :
∀ω ∈ Ω, ∃N(ω), ∀n ≥ N(ω), X Tn (ω) = X T (ω).
Le but est démontrer que pour tout x de E et tout réel positif t,
{X T = x} ∩ {T ≤ t} ∈ F t . Or :
. {T ≤ t} = {T < t} ∪ {T = t} ; {T = t} = {T ≤ t} ∩ n>0 {T > t − 1/n} ∈ F t .
. {X T = x} ∩ {T = t} = {X t = x} ∩ {T = t} ∈ F t .
.{X T = x} ∩ {T = t} = ∪ k≥0 ∩ p≥k {X Tp = x} ∩ {T p = t} car T p décroit vers T et pour
p assez grand, X Tp = X T .
a) si p < t, T p ≤ p < t et
{X Tp = x} = ∪ p2p −1
k=0 {X 2 −p (k+1) = x}∩{2 −p k ≤ T < 2 −p (k+1)}∪{X p = x}∩{T ≥ p} ∈ F t .
b) si p ≥ t,
{X Tp = x} ∩ {T < t} = ∪ t>(k+1)2 −p{X 2 −p (k+1) = x} ∩ {2 −p k ≤ T < 2 −p (k + 1)} ∈ F t
car aucun indice ne dépasse t. Ainsi X T est-il F T mesurable.
•
3.4 Processus de Markov, processus à accroissements indépendants
Définition 3.14 Un processus à accroissements indépendants (PAI) est un processus
stochastique qui vérifie la propriété (ii) de la définition 3.2.
Un processus à accroissements stationnaires (PAS) est un processus stochastique
qui vérifie la propriété (iii) de la définition 3.2.
On note PAIS un processus qui vérifie les deux propriétés.
On appelle processus de Markov sur l’espace de probabilité filitré (Ω, F t , P), un
processus (X t , t ∈ R + ) à valeurs réelles tel que pour tout borélien B, et tout couple de
réels positifs (t, s),
P(X t+s ∈ B/F t ) = P(X t+s ∈ B/X t ) noté P Xt (X s ∈ B).
On dit qu’il est homogène si de plus cette loi conditionnelle ne dépend pas de t.
Exemple : un processus de Poisson est un PAIS.
Proposition 3.15 (i) Un PAI est un processus de Markov.
(ii) Un PAIS est de plus homogène.
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