martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Preuve : L’hypothèse est qu’il existe une constante K telle que pour tout n,
E(|X n |] ≤ K. Or, la suite (|X n |, n ∈ N) est une sous martingale : la suite des espérances
(E[|X n |], n ∈ N) est donc croissante majorée par K et par la décomposition de Doob
il existe une martingale M et un processus croissant prévisible A tels que pour tout
entier n, |X n | = M n + A n . La suite croissante A n admet une limite presque sûre notée
A ∞ : |X n | ≤ M n + A ∞ . Or A n = |X n | − M n , E(A n ) ≤ K − E[M 0 ] et la limite A ∞ est
intégrable : E(A ∞ ) ≤ K − E[M 0 ] et on peut donc en prendre l’espérance conditionnelle :
∀n, |X n | ≤ M n + E[A ∞ /F n ] = Y n .
La suite Y est une martingale positive, Y − X, notée Z, aussi puisque Y ≥ |X| ≥ X et
on a bien X = Y − Z.
•
1.3 Arrêt
Définition 1.6 On appelle temps d’arrêt relatif à une filtration (F n , n ∈ N) une variable
aléatoire T à valeurs dans ¯N = N ∪ {+∞} telle que pour tout n ∈ N, l’événement
{T = n} ∈ F n .
Remarquer que {T = n} ∈ F n équivaut à {T ≤ n} ∈ F n
Exemples :
. L’exemple le plus simple : T = n 0 constant est un F−temps d’arrêt.
. Soit (X n , n ∈ N) une suite de variables aléatoires réelles, A un borélien de R, on définit
T = min{n, X n ∈ A} si l’ensemble n’est pas vide, + ∞ sinon.
Alors T est un temps d’arrêt pour la filtration naturelle de X. On l’appelle le temps
d’entrée dans A.
Proposition 1.7 Si T et S sont des F-temps d’arrêt alors
sup(S, T ) noté S ∨ T, inf(S, T ) noté S ∧ T, sont des F − temps d’arrêt.
Preuve : en TD ; le principe général de ces preuves est le suivant : l’ensemble Ω se
décompose selon la réunion disjointe
Ω = ∪ n≥0 {T = n} ∪ {T = +∞}
le dernier sous-ensemble étant vide si T est presque sûrement fini.
On note F T := {A ∈ F ∞ ; A∩{T ≤ n} ∈ F n , ∀n}. On l’appelle la tribu des événements
antérieurs à T.
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