martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

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Lemme 2.13 P x {T p x < ∞} = (P x {T x < ∞}) p . Preuve : en utilisant la propriété de Markov forte et le fait que sur l’événement {T p x < ∞}, X T p x vaut x. La propriété est évidente pour p = 1. On fait une preuve par récurrence. Donc on calcule P x {T p+1 x < ∞} = P x {T p x + T x ◦ θ T p x < ∞} = P x ({T p x < ∞} ∩ {T x ◦ θ T p x < ∞}) et l’on passe aux intégrales d’indicatrices pour utiliser la propriété de Markov forte : E x [1 T p x
Théorème 2.16 Soit x ∈ E. Il n’y a que deux possibilités : a) P x (T x < ∞) = 1 : on dit que x est récurrent et dans ce cas P x (R x ) = 1, U(x, x) = +∞. b) P x (T x < ∞) < 1 : on dit que x est transitoire ou transient et dans ce cas P x (R x ) = 0, U(x, x) < +∞. Preuve immédiate : précisément U(x, x) = 1 1−P x(T x
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Page 63 and 64: • Lemme 3.31 Preuve E[f(T 1 , ·
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