T. P. Traitement du Signal Maîtrise E.E.A. - LASC

Relations entre la série de Fourier et la décomposition en série trigonométrique.
Pour obtenir la relation entre les coefficients x n et les coefficients en cosinus (a n ) et les
coefficients en sinus (b n ), on remplace la fonction exponentielle complexe dans la formule (1) par cosinus
+ i sinus. Ensuite, on identifie le résultat obtenu avec le développement en série trigonométrique donné
ci-dessous :
x(
t)
= a
⎛
+∞
+∞
∑
⎜
⎟ + ∑
⎜
0
+ an
cos 2 n bn
sin 2πn
n=
1 T0
n=
1 T0
⎝
t
⎞
⎠
⎛
⎝
t ⎞
⎟
⎠
π (5)
On obtient alors la relation suivante entre les coefficients x n et les valeurs de a n et b n :
x
x
n
0
an
− ibn
= pour n différent de 0.
(6)
2
= a
0
1
=
T
0
∫
[ T0
]
x(
t)
dt
Les relations donnant les valeurs de a n et b n sont obtenues à partir des équations (6) et (2) :
2 ⎛ t
∫
⎟ ⎞
a = ⎜
n
x(t)cos 2 π n dt
(7)
T0
[ T ] ⎝ T0
⎠
0
2 ⎛ t
∫
⎟ ⎞
b = ⎜
n
x(t)sin 2 π n dt
(8)
T0
[ T ] ⎝ T0
⎠
0
Les coefficients a n et b n ne sont définis que pour des valeurs de n positives. Dans le cas des signaux réels
(à partie imaginaire nulle) une relation simple provenant de la propriété de symétrie hermitienne permet
de calculer les coefficients x n pour des indices n négatifs à partir des valeurs de x n pour n positif :
x =
*
−n x n
En appliquant ces relations à notre signal sinusoïdal, le seul coefficient différent de 0 est a 1 =A. Ce
résultat s’obtient également de façon très simple dans ce cas particulier en identifiant les équations (3) et
(5).
Relation entre la transformée de Fourier et les coefficients de Fourier pour les signaux périodiques.
Il est également possible de calculer la transformée de Fourier pour un signal périodique de période T 0 , le
résultat obtenu donne en réalité les mêmes informations que les coefficients de Fourier, ceci va être
démontré à présent :
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