T. P. Traitement du Signal Maîtrise E.E.A. - LASC

H
( f )
Etant donné que est périodique, on peut calculer son développement en série de Fourier par :
1 f e / 2 ⎛ n
h n
H f i f df
f
∫ − f e
e
f ⎟ ⎞
( ) = ( ) exp
⎜ 2π (5)
/ 2
⎝ e ⎠
N.B. : on notera la présence d’un signe + à la place d’un – dans la fonction exponentielle car on passe du
domaine spectral au domaine temporel.
On se limitera au calcul de N coefficients h( n ) (ou ( )
rendre le filtre causal, il faut décaler les indices n de ( )
donc un déphasage de ( N − ) π fT et un retard de ( N − ) T
1
e
b n ) pris symétriquement autour de 0, et pour
h n de manière à démarrer en 0. Ceci introduit
1 e
2avec T la période d’échantillonnage (pour
N impair). Pour atténuer l’effet GIBBS lié à la troncature de la réponse impulsionnelle, on utilise
généralement des fenêtres de pondération comme celle de Hamming.
b) Echantillonnage en fréquence
La méthode précédente devient difficile à appliquer lorsque la forme de H( f ) devient plus compliquée.
Cette nouvelle méthode permet de fixer n’importe quelle forme pour H( f ) . H( f ) est échantillonnée en
N points de − f e
2 à
e
2
Le décalage des indices de
Nous allons à présent définir les filtres RII.
1.2) Filtres RII
f . Les N coefficients h( n ) sont obtenus par TFD inverse de ( )
e
H f :
( N −1)/2
1
⎛ n ⎞
hk ( ) = Hn ( )exp⎜2 ik ⎟, k∈ − N−1 2, N−1 2
N n=−( N−1)/2
N
⎣ ⎦
⎝ ⎠
h( n)
∑ π
⎡ ( ) ( ) ⎤ (6)
pour raison de causalité va également entraîner une phase linéaire.
Les filtres RII sont définis par l’équation générale :
N −1
∑
H z)
=
1+
b
k
k = 0
M
∑
l=
1
z
−k
( (7)
Ce type de filtre peut être instable si les pôles sont situés en dehors du cercle unité. D’autre part la phase
ne varie pas linéairement avec la fréquence. Par contre, le nombre de coefficients à calculer est
relativement faible en comparaison des filtres RIF, ce qui permet de limiter les temps de calcul. Pour
synthétiser un filtre RIF, la méthode la plus simple consiste à partir de la fonction de transfert d’un filtre
a z
l
−l
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