T. P. Traitement du Signal Maîtrise E.E.A. - LASC

N correspond aux nombres d’échantillons prélevés sur x(t) sur [0, T 0 [ avec une période d’échantillonnage
T
= . N correspond aussi au nombre d’échantillons prélevés sur X s (f) sur [0, f e [ avec un pas appelé
N
t e
0
résolution spectrale qui vaut :
∆ f =
1
. Ce dernier résultat découle directement de l’expression de X[n]
T
0
donnée précédemment, on vérifie bien qu’en prenant N échantillons distants de 1/T 0 , on couvre bien une
gamme de fréquence égale à f e :
N
f e
= .
T 0
Dans notre exemple, nous avons choisi N=8 et f e =8Hz. Voici ce que nous obtenons dans ce cas au niveau
des spectres.
Dans l’exemple que nous venons de traiter, nous avons particulièrement bien choisi la fréquence
d’échantillonnage f e et la durée de mesure T 0 .
En effet, f e respecte le théorème de Shannon f e >2f 1 et T 0 est un multiple de la période du signal ce qui
nous permet d’avoir la fréquence du signal f 1 multiple entier de la résolution spectrale ∆f. Lorsque ces
deux conditions sur f e et T 0 sont satisfaites, il est possible d’établir la relation suivante entre les
coefficients de Fourier du signal périodique et la transformée de Fourier discrète :
x
Xn [ ]
N
n
=
e
sur l'intervalle [0, f / 2[ . En toute rigueur x n désigne ici les coefficients de Fourier de la
répétition périodique de x`(t), il faut donc nécessairement que T 0 soit égale à la période de x(t) ou alors
un multiple entier de celle-ci. Dans le cas contraire, il est impossible d’établir un lien entre les résultats
de la TFD et les coefficients de Fourier ou la transformée de Fourier du signal périodique. C’est ce que
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