T. P. Traitement du Signal Maîtrise E.E.A. - LASC

ce signal, il n'est pas nécessaire d'utiliser les formules 7 et 8 pour calculer les coefficients a n et b n , il
suffit de développer le produit des fonctions cosinus apparaissant dans l'équation précédente. Le signal
y(t) peut alors s'exprimer comme la somme de fonctions cosinus, on réalise donc aussi la décomposition
de ce signal en somme de plusieurs sinusoïdes que l'on peut appeler série trigonométrique.
- Déterminer la période du signal modulé ainsi que les coefficients de Fourier.
d) Peigne de Dirac
Le peigne de Dirac a été étudié en cours et nous avons déterminé la transformée de Fourier de ce signal
et donc ses différents coefficients de Fourier.
- Calculer les coefficients de Fourier d’un peigne de Dirac de période égale à 1 seconde.
- En déduire les valeurs des coefficients a 0 , a n et b n .
2-2) Synthèse de signaux périodiques à partir des valeurs de a n et b n précédemment obtenues.
Réalisez des fonctions que vous nommerez sinred.m, rampe.m, modam.m et dirac.m pour réaliser la
synthèse par série trigonométrique des fonctions sinus redressée, rampe, cosinus modulé en amplitude
par un cosinus, et peigne de Dirac. Les arguments d’entrée de ces fonctions seront :
- N : le nombre de sinusoïdes à sommer
- T 0 : la période de la fonction.
Il n’y a pas d’argument de sortie, il faut simplement tracer les représentations temporelles et
fréquentielles : x(t) et |X(f)|
Pour cela, les signaux seront donc générés à partir d’un vecteur temps t de 1000points répartis sur
l’intervalle [0, 2T 0 ] grâce à la formule suivante :
N
N
⎛ t ⎞ ⎛ t ⎞
xt () = a0
+ ∑ancos⎜2πn ⎟+
∑ bnsin⎜2πn
⎟
n= 1 ⎝ T0 ⎠ n=
1 ⎝ T0
⎠
Pour chaque fonction il faudra calculer les valeurs pour a n , b n et a 0 . C'est ainsi que l'on pourra synthétiser
de façon exacte ou de manière approchée les signaux a),b),c),d) à partir de leurs décompositions en série
trigonométrique.
- Pour les signaux a) et b), relevez et commentez l'évolution des ondulations présentes sur les
signaux synthétisés x(t) au fur et à mesure que vous augmentez le nombre N de sinusoïdes. En déduire
l'origine de ces ondulations qui constituent ce qu'on appelle l'effet Gibbs. Comment expliquez vous que
ces ondulations soient plus importantes sur la rampe que sur le sinus redressé. Pour vos explications,
basez-vous sur les spectres des signaux générés.
18