T. P. Traitement du Signal Maîtrise E.E.A. - LASC

TP 4 : UTILISATION DE LA TFD
POUR L’ESTIMATION D’UNE FONCTION DE CORRÉLATION
1) Introduction
Un signal aléatoire X(t,ω) est défini à chaque instant t 1 ,t 2 ,t 3 ,… par sa loi de probabilité temporelle:
p(x 1 ,x 2 ,x 3 ,…,t 1 ,t 2 ,t 3 ,…). Il existe un grand nombre de lois de probabilité dont la loi gaussienne et la loi
uniforme:
1 ⎛
loi gaussienne : p( x) = exp
−
σ 2π
⎜
⎝
⎧
loi uniforme : p( x)
= ⎨
⎪⎩
1
( − ) 2
x m x
2
2σ
⎪ inf sup
xsup
− x
⎣ ⎦
inf
0 ailleurs
⎞
⎟
⎠
sur un intervalle ⎡x
, x
Il est possible de générer les signaux aléatoires à partir de variables aléatoires qui suivent ces lois de
probabilité. On peut ainsi générer des bruits en prenant comme modèle:
( t,ω
) = Y( t,
X ) = aX b
Y +
avec X une variable aléatoire gaussienne ou uniforme, et a et b des constantes qui permettent de
paramétrer la puissance moyenne totale, la variance ou encore la valeur moyenne du signal Y.
Un signal aléatoire est dit stationnaire au sens strict si ses propriétés statistiques sont indépendantes de
l'origine des temps. Il est stationnaire au second ordre si son moment d'ordre 1 (valeur moyenne
statistique) ne dépend pas de l'instant choisi et si le moment mixte d'ordre 2 (l'autocorrélation statistique)
ne dépend que de τ: l'écart entre les instants t 1 et t 2 choisis pour relever les ensembles statistiques.
Ces moments sont calculés à partir d'ensembles statistiques formés par des observations du signal en
différents instants (t 1 , t 2 , …). Pour obtenir des résultats significatifs, il est donc nécessaire de constituer
des ensembles importants, et pour cela un grand nombre de relevés doit être entrepris. Il est souvent
plus facile de travailler sur un seul relevé du signal en fonction du temps et de calculer alors des
moments temporels. C'est ce qui est fait habituellement pour des signaux déterministes, pour les signaux
aléatoires, ces moments temporels ne donnent des résultats significatifs que si on fait l'hypothèse
d'ergodicité, c'est à dire que les moments ou moyennes temporelles correspondent aux moments
statistiques. Nous allons présenter les deux principales manières d'estimer numériquement la fonction
d'autocorrélation.
⎤
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