You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
1.2. Nosacītais ekstrēms 19<br />
1.9. piezīme. Nav jēgas aplūkot divu argumentu funkcijas minimizē-<br />
ˇsanas problēmu pie diviem ierobeˇzojumiem, jo divi ierobeˇzojumi,<br />
vispārīgi runājot, nosaka vienīgo punktu, un tad minimizēˇsanas problēma<br />
kl¸ūst triviāla. Tā, piemēram, iepriekˇs aplūkotā problēma ar<br />
papildnosacījumu y = 1 reducējas uz funkcijas f(x; y) minimizēˇsanas<br />
problēmu kopā {(x; y) : y = x + 1, y = 1}, kura sastāv, acīmredzot,<br />
no vienīgā punkta (0; 1).<br />
1.4. piemērs. [Trīs argumenti, divi ierobeˇzojumi]<br />
Minimizēt funkciju<br />
ja<br />
Sastādām Lagranˇza<br />
f(x; y; z) = x 2 + y 2 + z 2 ,<br />
x + y + z = 7,<br />
x − y = 2.<br />
L(x; y; z; λ1; λ2) = x 2 + y 2 + z 2 + λ1(x + y + z − 7) + λ2(x − y − 2).<br />
Tā kā ir divi ierobeˇzojumi, tad tiek ievesti divi Lagranˇza reizinātāji λ1<br />
un λ2 jeb Lagranˇza vektors (λ1; λ2). Tālāk ir jārisina standarta brīvā<br />
ekstrēma problēma. Lagranˇza funkcijas stacionārie punkti apmierina<br />
vienādojumu sistēmu<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
kuras atrisinājums ir:<br />
x = 10<br />
3<br />
Lx = 2x + λ1 + λ2 = 0,<br />
Ly = 2y + λ1 − λ2 = 0,<br />
Lz = 2z + λ1 = 0,<br />
Lλ1 = x + y + z − 7 = 0,<br />
= x − y − 2 = 0,<br />
Lλ2<br />
4 7<br />
, y = , z =<br />
3 3 , λ1 = − 14<br />
3 , λ2 = −2.<br />
Tātad nosacītā ekstrēma punkts (no ˇgeometriskā viedokl¸a ir skaidrs,<br />
ka tas ir minimuma punkts) ir punkts <br />
10 4 7<br />
3 ; 3 ; 3 .<br />
1.10. piezīme. Risinot vienādojumu sistēmu, var neinteresēties (pagaidām)<br />
par Lagranˇza reizinātāju vērtībām.
Change language