IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

32 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI
Kvadrātiskās formas determinants ir vienāds ar −1, un no tā seko aplams
apgalvojums, ka ekstrēma dotajā problēmā nav.
2. kl¸ūda. Aplams ir apgalvojums, ka, lai noskaidrotu Lagranˇza funkcijas
stacionārā punkta raksturu, pietiek izpētīt uz ekstrēmu funkciju f,
ņemot vērā lineārās sakarības starp mainīgo diferenciāl¸iem, kuras iegūst,
diferencējot saites. Tā 1.7. piemērā
df = e x dx + e y dy = ņemot vērā, ka dx + dy = 0 = (e x − e y )dx = 0
stacionārā punktā (1; 1). Kvadrātiskā forma
d 2 f = e x dx 2 + e y dy 2 = ņemot vērā, ka dx 2 = dy 2 = (e x + e y )dx 2
ir pozitīva visiem x un y, bet secinājums, ka funkcijai f punktā (1; 1) ir
nosacītais minimums, ir aplams.
1.2.10. Uzdevumi
7. Atrast ekstrēma punktus un noteikt to raksturu, izmantojot mainīgo
izslēgˇsanas metodi, ˇsādās problēmās:
7a. f(x; y; z) = xyz −→ ekstr, x + y + z = 5, xy + yz + zx = 8;
7b. f(x; y) = e xy −→ ekstr, x + y = a;
7c. f(x; y) = x 2 + xy + y 2 −→ ekstr, x − y = 2;
7d. f(x; y; z) = x 2 + y 2 + 2z 2 −→ ekstr, z = y + 1;
7e. f(x; y; z) = x 2 + y 2 + z 2 −→ ekstr, x + y + z = 1, x + y − z = 0.
8. Atrast ekstrēma punktus un noteikt to raksturu, izmantojot Lagranˇza
reizinātāju metodi, ˇsādās problēmās:
8a. f(x; y) = y − x 2 −→ ekstr, x 2 + y 2 = 1;
8b. f(x; y) = xy −→ ekstr, x 2 + y 2 = 1;
8c. f(x; y) = 6 − 4x − 3y −→ ekstr, x 2 + y 2 = 1;
8d. f(x; y; z) = xy + xz + yz −→ ekstr, xyz = 8.
9. Starp visiem taisnstūra paralēlskaldņiem (ar ˇsk¸autnēm x, y, z) ar doto
ˇsk¸autņu summu (x+y+z = 3c) atrast to, kuram tilpums ir vislielākais.