Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
70 III nodal¸a. LINE ĀRĀS PROGRAMMĒˇ SANAS UZDEVUMI<br />
kur A ir n × m matrica, b = (b1; . . . ; bm) ∈ R n . Piel¸aujamais apgabals F ,<br />
kuru nosaka nevienādība (3.10), ir izliekts daudzskaldnis telpā R n .<br />
Pierādīsim, ka kopa F ⊂ R n ir izliekta, t.i., kopa F reizē ar jebkuriem<br />
diviem saviem punktiem x1 un x2 satur arī nogriezni ar galapunktiem x1<br />
un x2:<br />
[x1; x2] = {x ∈ R n : αx1 + (1 − α)x2, 0 ≤ α ≤ 1}. (3.11)<br />
Tieˇsām, ja x = αx1 + (1 − α)x2, kur 0 < α < 1, tad<br />
Ax = A[αx1 + (1 − α)x2] = αAx1 + (1 − α)Ax2 ≤ αb + (1 − α)b = b,<br />
un, tā kā apgabals F ir definēts ar nevienādību (3.10), tad visi nogrieˇzņa<br />
(3.11) punkti pieder kopai F .<br />
Viegli redzēt, ka kopas F robeˇza sastāv no hiperplakņu<br />
segmentiem.<br />
ai1x1 + . . . + ainxn = bi (i = 1, 2, . . . , n) (3.12)<br />
Par n-dimensionāla daudzskaldņa F virsotnēm sauc punktus, kuri pieder<br />
vismaz n hiperplaknēm (3.12).<br />
Triju (vai divu) dimensiju gadījumā, t.i., ja n = 3 (vai n = 2), var<br />
sniegt uzskatāmu daudzskaldņa ˇgeometrisko interpretāciju. Ja n = 3, tad<br />
F ir daudzskaldnis, un vismaz triju plakņu, kuras veido F robeˇzu, kopējais<br />
punkts ir daudzskaldņa F virsotne. Piemēram, 3.2. zīmējumā attēlotā kopa<br />
F - vienības kubs ar noˇsk¸eltu virsotni - izliekts daudzskaldnis ar 7 skaldnēm<br />
un 10 virsotnēm. Katra F virsotne ir triju plakņu, kuras veido F robeˇzu,<br />
kopīgais punkts. Protams, var iedomāties daudzskaldni (3-dimensiju telpā)<br />
ar virsotni, kura ir vairāk nekā triju plakņu kopīgais punkts, piemēram,<br />
piramīdu, kuras pamatā ir četrstūris.<br />
Lineārās programmēˇsanas teorijas pamatrezultāts saka, ka, ja lineārās<br />
programmēˇsanas problēmai ir atrisinājums, tad obligāti atradīsies ˇsīs problēmas<br />
piel¸aujamā apgabala F virsotne, kas sakrīt ar ˇso atrisinājumu.<br />
ˇSim faktam var sniegt uzskatāmu ˇgeometrisko interpretāciju, apskatot<br />
lineārās programmēˇsanas problēmas divu un triju dimensiju gadījumā.<br />
Tieˇsām, iedomāsimies 3-dimensionālu izliektu daudzskaldni (- piel¸aujamais<br />
apgabals F ), kuru ˇsk¸el¸ plakne (- mērk¸a funkcijas līmeņvirsma). Paralēli<br />
pārnesot ˇso plakni, tā “pēdējā momentā” pieskaras apgabala F robeˇzai.<br />
ˇSis “moments”, precīzāk sakot, pieskarˇsanās punkta koordinātas, atbilst<br />
ekstremālās problēmas atrisinājumam. Pārvietojot līmeņvirsmu (plakni)