IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

1.1. Brīvais ekstrēms 7
1.1. zīm. Punkts x ir kopas X ⊂ R 2 iekˇsējais punkts, jo Uε(x) ⊂ X.
Savukārt punkts z nav kopas X iekˇsējais punkts, jo jebkuram pozitīvam
δ punkta z apkārtne Uδ(z) satur punktus, kuri nepieder kopai X.
1.1. piezīme. Gadījumā, kad X = R n , jebkurˇs punkts x ∈ X ir kopas
X iekˇsējais punkts.
Kopu X ⊂ R n sauc par val¸ēju kopu, ja jebkurˇs tās punkts ir iekˇsējais.
Ja R n \ X (- kopas X papildkopa telpā R n ) ir val¸ēja kopa, tad kopu X
sauc par slēgtu kopu.
1.2. piezīme. Meklējot funkciju ekstrēmus (minimumus un maksimumus),
jāizˇsk¸ir divi svarīgi gadījumi, proti, vai ekstrēms tiek meklēts
val¸ējā vai slēgtā kopā. Tas ir atkarīgs no problēmas formulējuma.
Saka, ka kopā X ⊂ R n definētai funkcijai f ir lokāls minimums punktā
z ∈ X, ja eksistē tāda punkta z apkārtne, ka f(x) ≥ f(z) visiem x ∈ X no
ˇsīs apkārtnes. Ja pie tam f(x) > f(z), kad x = z , tad saka, ka minimums
ir stingrs.
1.3. piezīme. Funkcijai var būt vairāki (un pat bezgalīgi daudz) lokālo
minimumu (skat. 1.2. zīm.).
Saka, ka kopā X ⊂ R n definētai funkcijai x ↦→ f(x) ir globāls minimums
punktā x0 ∈ X, ja f(x) ≥ f(x0) visiem x no kopas X.
Analoˇgiski var definēt funkcijas lokālo maksimumu un globālo maksimumu.