IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

46 II nodal¸a. SKAITLISKĀS METODES
2.6. piemērs. Apskatīsim problēmu
f(x; y) = x 2 + y 2 −→ min.
Pieņemsim, ka sākumpunkts ir u0 = (1; 1). Tad grad f(1; 1) = (2; 2).
Ja α1 = 2, tad tuvinājums
u1 = u0 − α1 · grad f(1; 1) = (1; 1) − 2 · (2; 2) = (−3; −3).
Acīmredzot,
f(u1) = f(−3; −3) = 9 + 9 > f(u0) = 2.
Var arī gadīties, ka process kl¸ūs oscilējoˇss. Tā, pieņemsim, ka iepriek-
ˇsējā piemērā
α1 = α2 = · · · = 1, u0 = (1; 1).
Tad
u1 = u0 − α1 · grad f(u0) = (1; 1) − (2; 2) = (−1; −1),
f(u1) = 2,
u2 = u1 − α2 · grad f(u1) = (−1; −1) − (−2; −2) = (1; 1),
f(u2) = 2 utt.
Katrā solī parametrs α ir jāizvēlās tā, lai funkcijas f vērtība punktā
un+1 būtu pēc iespējas mazāka. Meklējam α kā viena argumenta funkcijas
minimizēˇsanas problēmas
atrisinājumu.
f(un+1) = F (α) = f un − α grad f(un) −→ min
2.7. piemērs. Apskatīsim problēmu
f(x; y) = x 2 + y 2 −→ min.
Pieņemsim, ka sākumpunkts ir u0 = (1, 1). Tad
f(u1) = f u0 − α1 · grad f(u0) = f(1 − 2α1; 1 − 2α1),
kur α1 ir problēmas
f(1 − 2α; 1 − 2α) −→ min