IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas metodes 35
kur punkti x1 un x2 apmierina nosacījumus
x1 =
a + b
2 − δ un x2 =
a + b
2
+ δ;
δ - pietiekami mazs skaitlis (2δ < ε). Atzīmēsim, ka punkts a+b
2 ir intervāla
[a; b] viduspunkts, un punkti x1 un x2 atrodas gandrīz intervāla vidū (ja δ
ir mazs), taču daˇzādās pusēs no viduspunkta.
Salīdzināsim funkcijas f(x) vērtības punktos x1 un x2. Gadījumā, ja
f(x1) = f(x2), meklētais minimuma punkts noteikti atrodas intervālā
(x1; x2) (jo pretējā gadījumā funkcija f nebūtu unimodāla). Tā kā intervāla
garums ir 2δ < ε, tad par minimuma punkta tuvinājumu var izvēlēties intervāla
viduspunktu. Gadījumā, ja f(x1) < f(x2), no Apgalvojuma izriet,
ka minimuma punkts xmin (tas ir viens vienīgs, jo f ir unimodāla) atrodas
intervālā (a, x2). Ja f(x1) > f(x2), tad xmin ∈ (x1; b). Abos gadījumos
jaunā intervāla, kuru apzīmēsim ar [a1; b1], garums ir viens un tas pats:
a + b b − a
b1 − a1 = x2 − a = + δ − a = + δ;
2 2
a + b b − a
b1 − a1 = b − x1 = b − + δ = + δ.
2 2
Atkārtojot analoˇgisku procedūru jaunajā intervālā [a1; b1], iegūstam jaunus
dalījuma punktus:
y1 = a1 + b1
2
− δ, y2 = a1 + b1
2
+ δ.
Ja f(y1) < f(y2), tad jaunais intervāls [a2; b2] = [a1, y2], bet, ja f(y1) >
f(y2), tad jaunais intervāls [a2; b2] = [y1; b1]. Abos gadījumos jauniegūtā
intervāla garums ir viens un tas pats:
b2 − a2 = y2 − a1 = a+b1
2 + δ − a1 = b1 − a1
2
=
b−a
2
+ δ
2
b2 − a2 = b1 − y1 = b1 − a+b1
2 + δ = b1 − a1
2
+ δ =
+ δ =
b − a
+ δ =
Nākamajā (treˇsajā) solī iegūstam intervālu [a3; b3] ar garumu
b3 − a3 = b2 − a2
2
b − a δ δ
+ δ = + + + δ.
23 22 2
b − a δ
+ + δ;
22 2
δ
+ + δ.
22 2