IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

28 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI
Pieņemsim, ka x0 ir Lagranˇza funkcijas
L(x; λ) = f(x) +
m
λigi(x)
stacionārais punkts, bet λ = (λ1; . . . ; λm) ir attiecīgais Lagranˇza reizinātāju
vektors. Stacionārā punkta raksturs ir atkarīgs no funkcijas pieauguma
∆f = f(x) − f(x0) zīmes, kur x apmierina saites (1.8). Atzīmēsim, ka
∆L = L(x) − L(x0) = f(x) − f(x0) +
m
i=1
i=1
λi gi(x) − gi(x0) = f(x) − f(x0)
visiem x, kuri apmierina nosacījumus (1.8), jo tad g(x) − g(x0) = 0. Tas
nozīmē, ka funkcijas pieauguma ∆f vietā var analizēt ∆L. Iegūstam
∆L = dL(x0) + 1
2 d2 L(x0) + ε,
kur ε ir augstākas kārtas loceklis attiecībā pret argumentu pieaugumu.
Tā kā dL(x0) = 0, tad pieauguma ∆L zīme ir atkarīga no kvadrātiskās
formas d 2 L(x0) zīmes, kura savukārt ir atkarīga no n mainīgajiem dx 2 i
(i = 1 . . . , n). Diferencējot saites, iegūstam sakarības
Pieņemot, ka matricas
dg1 = ∂g1
dx1 + · · · +
∂x1
∂g1
,
∂xn
dgm = ∂gm
∂x1
∂gi
∂xj
· · ·
dx1 + · · · + ∂gm
.
∂xn
rangs ir m (tas nozīmē, ka vismaz viens ˇsīs
matricas m-tās kārtas minors punktā x0 nav vienāds ar nulli, bet katrs
ˇsīs matricas (m + 1)-tās kārtas minors punktā x0 ir vienāds ar nulli),
varam izteikt m atkarīgo mainīgo diferenciāl¸us ar n−m neatkarīgo mainīgo
diferenciāl¸iem. Tad n mainīgo kvadrātiskā forma d 2 L(x0) kl¸ūs par n − m
neatkarīgo mainīgo formu Q. ˇ So kvadrātisku formu var pētīt standarta
veidā (skat. 1.1.5. apakˇsparagrāfu) un spriest par stacionārā punkta raksturu.
Atgādināsim, ka, ja forma Q ir pozitīva, tad punktā x0 ir minimums
(nosacītais!), bet, ja Q ir negatīva, tad punkts x0 ir nosacītā maksimuma
punkts.