IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

42 II nodal¸a. SKAITLISKĀS METODES
2.1. teorēma. Nogrieˇzņa [a; b] zelta ˇsk¸ēluma punkts x ir zelta ˇsk¸ēluma
punkts lielākajam no nogrieˇzņiem, kuros nogriezni [a; b] sadala otrs
zelta ˇsk¸ēluma punkts, t.i., x ir zelta ˇsk¸ēluma punkts nogrieznim [a; y].
Analoˇgiski y ir zelta ˇsk¸ēlums nogrieznim [x; b].
◮ Jāpierāda, ka
Tieˇsām,
√
5 − 1
x = a + (y − a) .
2
x = a + (b − a) 3 − √ 5
=
√
2
2 √ 2 5 − 1
5 − 1
= a + (b − a)
− (b − a)
+ (b − a)
2
2
3 − √ 5
2
√ √
5 − 1 5 − 1
= a + a + (b − a) − a
2
2 +
3 −
+ (b − a)
√ √ 2 5 5 − 1
−
2 2
√
5 − 1
= a + (y − a) . ◭
2
Analoˇgiski var pierādīt, ka y ir nogrieˇzņa [x, b] zelta ˇsk¸ēluma punkts.
Minimuma punkta meklēˇsana saskaņā ar zelta ˇsk¸ēluma metodi notiek
ˇsādi.
Salīdzina funkcijas f(x) vērtības zelta ˇsk¸ēluma punktos x un y. Ir
iespējami divi gadījumi:
a) ja f(x) < f(y), tad [a; y] ir minimuma punkta lokalizācijas intervāls;
b) ja f(x) > f(y), tad [x; b] ir minimuma punkta lokalizācijas intervāls.
a) gadījumā jaunais intervāls ir [a1; b1] = [a; y] un lielākais zelta ˇsk¸ēluma
punkts y1 = x ir zināms, bet otro, mazāko, var aprēk¸ināt pēc formulas
x1 = a1 + (b1 − a1) 3 − √ 5
.
2
Tālāk salīdzina f(x1) un f(y1) un atkārto procedūru.
b) gadījumā jaunais intervāls ir [a1; b1] = [x; b] un x1 = y ir jaunā
intervāla mazākais zelta ˇsk¸ēluma punkts. Otrais, lielākais, zelta ˇsk¸ēluma
=
=