PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

10 I nodal¸a. NEPIECIEˇ SAMĀS ZIŅAS NO ALGEBRAS UN ANALĪZES
t.i., m ≤ z
ρ < m+1 jeb 0 ≤ z−mρ < ρ. Tā kā ρ ∈ G+ , ρ = inf G + , z ∈ G, tad z−mρ ∈ G
un z − mρ = 0, t.i., z = mρ. Tātad eksistē pozitīvs skaitlis a = ρ, ka G = {am|m ∈ Z}.
Tagad pieņemsim, ka ρ = 0. Apskatīsim patval¸īgus x ∈ R un ε > 0. Tā kā inf G + = 0,
tad eksistē tāds z ∈ G + , ka 0 < z < 2ε. Pieņemsim, ka m =
x+ε
x+ε
∈ Z, t.i., m ≤ z
z <
m + 1. Tātad
x − ε x + ε
x + ε
< − 1 < m ≤ ,
z z z
no kurienes seko, ka mz ∈ (x − ε; x + ε]. Tā kā z ∈ G + , tad mz ∈ G. Tādējādi
G ∩ (x − ε; x + ε] = ∅ jebkuram x ∈ R un patval¸īgam ε > 0, t.i., kopa G ir visur blīva
kopas R apakˇskopa.◭
Sekas. Ja G ir grupas R + slēgta apakˇsgrupa, tad vai nu G = R, vai nu G = {0}, vai arī
G = {am|m ∈ Z}, kur a > 0.
Pieņemsim, ka X ir grupas R + apakˇsgrupa, pie tam X ir kopas R visur blīva apakˇskopa,
bet Y = C ◦ .
1.2. teorēma. Ja f : X → Y ir grupas X homomorfisms grupā Y (t.i., f(x + y) =
f(x) · f(y) jebkuriem x, y ∈ X), pie tam f ir nepārtraukta funkcija punktā 0, tad
eksistē vienīgā nepārtrauktā funkcija F : R → C, ka F ir funkcijas f turpinājums
(t.i., F (x) = f(x) jebkuram x ∈ X) un F ir grupas R + homomorfisms grupā Y .
◮ Tā kā funkcija f ir nepārtraukta punktā 0, tad eksistē ˇsī punkta apkārtne U1 =
U(0; r1) un skaitlis K > 0, ka jebkuram x ∈ X ∩ U1 ir spēkā nevienādība
|f(x)| ≤ K. (1.1)
Apskatīsim patval¸īgu x ∈ R. Pieņemsim, ka V1 ir punkta x apkārtne ar rādiusu 1
2 r1. Tā
kā X ir kopas R visur blīva apakˇskopa, tad eksistē t0 ∈ X ∩ V1. Apzīmēsim |f(t0)| = M0.
Tad jebkuram t ∈ X ∩ V1 iegūsim:
|f(t)| = |f(t − t0 + t0)| = |f(t − t0) · f(t0)| = |f(t − t0)| · |f(t0)| ≤ KM0. (1.2)
(atzīmēsim, ka |f(t − t0)| ≤ K saskaņā ar nevienādību (1.1), jo t − t0 ∈ X ∩ U1).
ε
Apskatīsim patval¸īgu ε > 0. Pieņemsim, ka ε = . Tā kā funkcija f ir
3KM0
nepārtraukta punktā 0, tad eksistē tāda punkta 0 apkārtne Uδ = U(0; δ), ka jebkuram
t ∈ X ∩ Uδ ir spēkā nevienādība
|f(t) − f(0)| = |f(t) − 1| < ε (1.3)
(turpmāk uzskatīsim, ka Uδ ⊂ U1, t.i., δ ≤ r1).
Apskatīsim punkta x apkārtni
Vδ = V x; 1
2 δ
= x − 1 1
δ; x +
2 2 δ
.
Acīmredzot, Vδ ⊂ V1.
Pieņemsim, ka t, t ′ ∈ X ∩ Vδ. No nevienādības (1.2) seko, ka
|f(t ′ )| ≤ KM0.
Tā kā t − t ′ ∈ X ∩ Uδ, tad saskaņā ar nevienādību (1.3) atrodam:
|f(t − t ′ ) − 1| < ε.