PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

2.9. Uzdevumi 63
12. Pie kādām parametra α vērtībām eksistē vismaz viena funkcija f : R → R, kura
nav konstanta funkcija un kura apmierina funkcionālvienādojumu f(α(x + y)) =
f(x) + f(y) jebkuriem x, y ∈ R?
13. Pieņemsim, ka a un b ir atˇsk¸irīgi no skaitl¸a 1 daˇzādi pozitīvi skaitl¸i. Atrast visas
funkcijas f : R → R, ka f(x + y) = a y f(x) + b x f(y) jebkuriem x, y ∈ R.
14. Pieņemsim, ka a ir fiksēts reāls skaitlis. Atrast visas nepārtrauktas funkcijas f :
R → R, ka f(1) = a un f(x + y) = f(x) + f(y) + xy jebkuriem x, y ∈ R.
15. Atrast visas nepārtrauktas punktā x = 0 funkcijas f : R → R, ka f(x + y) =
f(x) + f(y) + xy jebkuriem x, y ∈ R.
16. Pieņemsim, ka a ir fiksēts reāls skaitlis. Atrast visas diferencējamas funkcijas f :
R → R, ka f(1) = a un f(x + y) = f(x) + f(y) + xy jebkuriem x, y ∈ R.
17. Pierādīt, ka eksponente f : R + → S, kurai ir spēkā f
a = i (a - eksponentes
4
galvenais periods), nogriezni
a 3a
3a
; bijektīvi attēlo par nogriezni 2 4
4 ; a .
18. Pierādīt, ka funkcija cosa x ir stingri dilstoˇsa nogrieznī [0; a],
iepriekˇs pierādot ˇsādu
2
formulu:
x1 + x2 x2 − x1
cosa x1 − cosa x2 = −2 sina cosa .
2 2
Formulēt funkcijas arccosa x kā funkcijas cosa x, x ∈ 0; a
, inversās funkcijas
2
definīciju. Kādu lomu ˇsajā definīcijā spēlē nogrieznis 0; a
? Atrast funkcijas sina x
2
stingrās monotonitātes intervālus. Formulēt funkcijas arcsina x, kā funkcijas sina x
saˇsaurinājuma kādā no ˇsiem intervāliem inversās funkcijas, definīciju. Pierādīt redukcijas
formulas argumentiem x un x ± π, x un x ± 3π
2 .
19. Pierādīt, ka vienādojumam z n = z0 = cos x + i sin x ir tieˇsi n saknes, kuras pieder
vienības riņk¸a līnijai un kuras iegūst, formulā
z = cos
x + 2kπ
n
+ i sin
x + 2kπ
n
parametram k pieˇsk¸irot vērtības k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
20. Pieņemsim, ka d ir taisns leņk¸is. Atrast leņk¸u d, 2d, 3d, . . . , nd daˇzādus mērus.
Pierādīt, ka d
√
2 = A−1
2 2 ± i √
2 un 2
d
√
3 1
= A−1 + i , ja leņk¸us 3 2 2
d d un 2 3 definē
attiecīgi vienādojumi 2x = d un 3x = d. Atrast leņk¸u ± d d 4d , ± , ± daˇzādus mērus.
2 3 3
21. Pierādīt, ka attēlojums f : SO2 → S, ka
cos t − sin t
f
= cos t + i sin t,
sin t cos t
ir grupu SO2 un S izomorfisms.
22. Pārformulēt leņk¸u saskaitīˇsanas definīciju (skat. 2.14. definīciju), uzskatot, ka
zc
[〈a; b〉] + [〈c; d〉] = a; d .
zb