PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

34 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
Tā kā eksponentfunkcijai ar bāzi x > 0 ir spēkā vienādība
x 1
n n
= x (skat.
eksponentfunkcijas 7 0 īpaˇsību), tad funkcija x 1
n var tikt uzlūkota kā funkcijas x n
inversā funkcija (funkcijas x n maksimālajā injektivitātes intervālā). Piemēram, fun-
kcija x 30
17 ir definēta visu reālo skaitl¸u kopā R, bet funkcija x 17
30 - tikai kopā {0}∪R>0.
Tāpēc, lai nevajadzētu ņemt vērā pakāpes funkcijas kāpinātāja a specifiku, pakāpes
funkcija tiks aplūkota kopā R>0.
2.4.2. Teorēma par pakāpes funkcijas eksistenci un vienīgumu
2.5. teorēma. Jebkuram a > 0 eksistē vienīgā pakāpes funkcija ar kāpinātāju a, t.i.,
funkcija f : R>0 → R>0, kura apmierina 2.7. un 2.8. definīcijas nosacījumus 1), 2)
un 3).
◮ Apskatīsim nepārtrauktus homomorfismus f : R • → R + , f(2) = 1, un g : R + → R • ,
g(1) = 2 a , kuri eksistē saskaņā ar attiecīgi 1.4. un 1.3. teorēmu. Pieņemsim, ka h = g ◦ f.
Acīmredzot, h : R • → R • - nepārtraukts homomorfisms, pie tam
h(2) = (g ◦ f)(2) = g(f(2)) = g(1) = 2 a .
Tātad h ir pakāpes funkcija ar kāpinātāju a. Pakāpes funkcijas ar kāpinātāju a eksistence
ir pierādīta.
Pieņemsim, ka funkcijas h1 un h2 apmierina 2.7. un 2.8. definīcijas nosacījumus 1),
2) un 3), bet f(x) = log 2(x). Apskatīsim funkcijas g1 = h1 ◦ f −1 un g2 = h2 ◦ f −1 .
Acīmredzot, f −1 ir nepārtraukts grupas R + homomorfisms par grupu R • , bet g1 un g2 -
nepārtraukti grupas R + homomorfismi grupā R • , pie tam
g1(1) = h1(f −1 (1)) = h1(2) = 2 a , g2(1) = h2(f −1 (1)) = h2(2) = 2 a .
Tātad g1 un g2 ir eksponentfunkcijas ar bāzi 2 a . No 1.3. teorēmas seko, ka g1 = g2,
t.i., g1(x) = g2(x) jebkuram x ∈ R. Tagad pierādīsim, ka h1 = h2, t.i., h1(x) = h2(x)
jebkuram x ∈ R>0. Pieņemsim pretējo, ka eksistē tāds x0 ∈ R>0, ka h1(x0) = h2(x0).
Tad, acīmredzot, g1(y0) = g2(y0), kur y0 = log 2 x0, kas ir pretrunā ar iepriekˇs teikto.
Pakāpes funkcijas ar kāpinātāju a vienīgums ir pierādīts.◭
2.22. piezīme. No vienādības h = g ◦ f seko, ka jebkuram x ∈ R>0 ir spēkā
2.4.3. Pakāpes funkcijas īpaˇsības
x a = (2 a ) log 2 x . (2.11)
Pirmās divas īpaˇsības tieˇsi seko no 2.7. definīcijas, izmantojot iepriekˇs ievesto pakāpes
funkcijas apzīmējumu x a , a ∈ R.
1 0 (xy) a = x a y a jebkuriem x, y ∈ R>0.
2 0 x a ir nepārtraukta funkcija.
Ērtībās labad kā nākamo īpaˇsību formulēsim 2.8. definīcijas 3) nosacījumu.
3 0 Ja f : R>0 → R>0 ir pakāpes funkcija ar kāpinātāju a, tad f(2) = 2 a .