PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

14 I nodal¸a. NEPIECIEˇ SAMĀS ZIŅAS NO ALGEBRAS UN ANALĪZES
ˇSo attēlojumu sauc par riņk¸a līnijas vienkārˇsā loka S \ {B} racionālo parametrizāciju
(atgādināsim, ka ˇso loku iegūst no vienības riņk¸a līnijas ar centru
koordinātu sākumpunktā, izmetot punktu B(−1; 0).
1.3. piezīme. Vispārīgajā gadījumā, kad no riņk¸a līnijas S tiek izmests punkts B ′ , kurˇs
nesakrīt ar punktu B(−1; 0), apskata attēlojuma t = f(x; y) (skat. pēdējās teorēmas
pierādījumu) un rotācijas ar centru punktā O par leņk¸i, kurˇs ir vienāds ar leņk¸i starp
stariem OB un OB ′ , kompozīciju. Pieņemsim, ka B ′ (a; b). Apskatīsim attēlojumu
g : R2 → R2 , kuru uzdod formulas
u = −ax + by,
(1.11)
v = −bx − ay.
Nav grūti pārliecināties, ka ˇsajā attēlojumā jebkurˇs punkts (x; y) ∈ S attēlojas par ˇsīs
paˇsas riņk¸a līnijas S punktu, bet punkts B(−1; 0) - par punktu B ′ (a; b). Attēlojums
g, kuru uzdod ar formulām (1.11), ir rotācija ar centru punktā O par leņk¸i, kurˇs ir
vienāds ar leņk¸i starp stariem OB un OB ′ . Tāpēc attēlojums γ = g◦α : R → S\{B ′ }
ir skaitl¸u taisnes R homeomorfisms par riņk¸a līniju, no kuras ir izmests punkts B ′ .
Tātad funkcija
2 −a (1 − t ) + 2bt
γ(t) =
1 + t2 ; −b (1 − t2 ) − 2at
1 + t2
, (1.12)
kur t ∈ R, ir vienkārˇsā loka S \ {B ′ } racionālā parametrizācija.
Nākamā teorēma parāda, ka skaitl¸u taisni R nevar bijektīvi un nepārtraukti attēlot
par visu riņk¸a līniju.
1.5. teorēma. Ja h : R → S ir nepārtraukts un sirjektīvs skaitl¸u taisnes R attēlojums
par vienības riņk¸a līniju S, tad eksistē daˇzādi punkti x1 un x2, ka h(x1) = h(x2).
◮ Pieņemsim pretējo, ka funkcija h ir injektīva, t.i., daˇzādām argumenta vērtībām x ∈
R atbilst daˇzādas funkcijas vērtības h(x) ∈ S. Pieņemsim, ka B = h(0) ∈ S. Apskatīsim
stereogrāfisko projekciju ar centru punktā B, t.i., attēlojumu t = f(x; y) : S \ {B} → R,
un kompozīciju g = f ◦ h. No dotās teorēmas nosacījumiem un stereogrāfiskās projekcijas
īpaˇsībām (skat. 1.4. teorēmu) seko, ka funkcija g injektīvi un nepārtraukti attēlo kopu
R\{0} par kopu R. Apskatīsim kopas A1 = g((0; +∞)) = ∅ un A2 = g((−∞; 0)) = ∅. Tad
A1 un A2 ir val¸ēji intervāli (skat. 1.3. teorēmas otro apgalvojumu), pie tam A1 ∪ A2 = R
un A1∩A2 = ∅. Taču tas ir pretrunā ar to, ka skaitl¸u taisne R ir sakarīga kopa, t.i., skaitl¸u
taisni nevar izteikt kā divu netukˇsu savstarpēji neˇsk¸el¸oˇsos val¸ēju intervālu apvienojumu.◭
1.4. piezīme. 1.4. teorēmas pierādījuma gaitā konstruētajam homeomorfismam t =
f(x; y) : S \ {B} → R piemīt ˇsādas īpaˇsības.
1. Ja A ir kopas S \ {B} slēgta apakˇskopa, tad f(A) ir slēgta un ierobeˇzota skaitl¸u
taisnes R apakˇskopa.
2. Ja A ir kopas S\{B} sakarīga apakˇskopa, tad f(A) ir skaitl¸u taisnes R intervāls.
3. Ja A ir kopas S \ {B} slēgta un sakarīga apakˇskopa, tad f(A) ir skaitl¸u taisnes
R nogrieznis.
4. f((1; 0)) = 0, f((0; 1)) = 1, f((0; −1)) = −1.