PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

2.5. Eksponenciālā funkcija kā nepārtraukts grupas R + homomorfisms grupā S 37
Neskatoties uz to, ka eksponentes definīcija (skat. 2.9. definīciju) ir l¸oti līdzīga eksponentfunkcijas
definīcijai (skat. 2.3. definīciju), tajās iet runa par principiāli daˇzādām
funkcijām:
1) kaut arī eksponentei un eksponentfunkcijai ir viena un tā paˇsa definīcijas kopa R,
tomēr tām ir daˇzādas vērtību kopas, jo eksponentfunkcijas vērtību kopa ir vienāda ar visu
pozitīvo reālo skaitl¸u kopu, bet eksponentei - ar visu komplekso skaitl¸u, kuru modulis ir
vienāds ar 1, kopu; ˇso vērtību kopu vienīgais kopīgais elements ir skaitlis 1, kurˇs ir grupu
R • un S neitrālais elements;
2) eksponentfunkcijas gadījumā f(x) · f(y) apzīmē pozitīvu reālu skaitl¸u reizinājumu,
bet eksponentes gadījumā - kompleksu skaitl¸u, kuru modulis ir vienāds ar 1, reizinājumu.
2.5.2. Eksponentes īpaˇsības
3 0 f(0) = 1.
◮ Tā kā f(x) = f(x + 0) = f(x)f(0) un f(x) = 0 (jo |f(x)| = 1), tad f(0) = 1.◭
40 f(−x) = f(x) = 1 , kur f(x) ir skaitl¸a f(x) kompleksi saistītais skaitlis.
f(x)
tad
◮ Tā kā
1 = f(0) = f(x − x) = f(x + (−x)) = f(x)f(−x),
f(−x) = 1
f(x)
= f(x)f(x)
f(x)
= f(x)
(izmanto faktu, ka |f(x)| 2 = f(x)f(x) = 1).◭
No pēdējās īpaˇsības seko, ka kopa f(R) ir simetriska attiecībā pret reālo asi, citiem
vārdiem sakot, kopa f(R) ir simetriska attiecībā pret vienības riņk¸a līnijas horizontālo
diametru.
5 0 f(x − y) = f(x)f(y) jebkuriem x, y∈R.
◮ f(x − y) = f(x + (−y)) = f(x)f(−y) = f(x)f(y).◭
6 0 Eksponentes f kodols f −1 (1) ir grupas R + slēgta apakˇsgrupa.
◮ Pieņemsim, ka H = ker f = f −1 (1) = {t ∈ R|f(t) = 1} - eksponentes f kodols. Ja
t1, t2 ∈ H, tad f(t1 + t2) = f(t1)f(t2) = 1, t.i., t1 + t2 ∈ H; ja t ∈ H, tad f(−t) = f(t) =
1 = 1, t.i., −t ∈ H; no 30 īpaˇsības seko, ka f(0) = 1, t.i., 0 ∈ H. Tātad H ir grupas R +
apakˇsgrupa.
Apskatīsim patval¸īgu apakˇsgrupas H skaitl¸u virkni (tn), kura konverˇgē uz t0. Saskaņā
ar 20 īpaˇsību attēlojums f ir nepārtraukts, tāpēc f(tn) −−−→
n→∞ f(t0). Tā kā f(tn) = 1
jebkuram n ∈ N, tad arī f(t0) = 1, t.i., t0 ∈ H. Tātad H ir grupas R + slēgta apakˇsgrupa.◭
7 0 Ja H = ker f ir eksponentes kodols, tad vai nu H = R, vai nu H = {0}, vai arī
H = {ma|m ∈ Z}, kur a > 0.
◮ Īpaˇsība seko no 60 īpaˇsības un 1.1. teorēmas sekām (skat. I nodal¸u).◭
8 0 Divu eksponenˇsu attiecība ir eksponente.