PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

60 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
2.8. Noslēguma piezīmes par elementāro pamatfunkciju aksiomātisko
teoriju
Iepriekˇs tika pierādīts, ka elementārās pamatfunkcijas (lineārā funkcija, eksponentfunkcija,
logaritmiskā funkcija, pakāpes funkcija) var tikt definētas kā skaitlisku grupu R +
un R • nepārtraukti homomorfismi, bet sinusa un kosinusa trigonometriskās funkcijas - kā
grupu R + un S nepārtraukta homomorfisma attiecīgi reālā un imaginārā sastāvdal¸a. Rodas
jautājums, vai eksistē citi skaitlisku grupu R + , R • un S nepārtraukti homomorfismi,
kuri l¸autu definēt atˇsk¸irīgas no iepriekˇs minētajām elementārās pamatfunkcijas? Turpmāk
tiks pierādīts, ka atbilde uz ˇso jautājumu ir negatīva, jo pārējie iespējamie nepārtrauktie
homomorfismi f : R • → S, f : S → R + , f : S → R • , f : S → S var tikt izteikti ar 2.1.,
2.2., 2.3., 2.4., 2.5. un 2.6. paragrāfā apskatītajiem nepārtrauktajiem homomorfismiem.
• Apskatīsim nepārtrauktu homomorfismu f : R • → S un patval¸īgu nepārtrauktu
homomorfismu g : R + → R • (skat. 1.3. teorēmu). Tad h = f ◦ g : R + → S - nepārtraukts
homomorfisms. No 2.7. teorēmas seko, ka h(x) = ea(x) vai h(x) = 1. Ja h(x) = 1, tad
g(x) = 1, t.i., f(x) = 1. Ja h(x) = ea(x), tad g : R + → R • - nepārtraukts izomorfisms.
Pieņemsim, ka g −1 : R • → R + ir tā inversais izomorfisms. Tad (f ◦ g) ◦ g −1 = ea ◦ g −1 ,
no kurienes seko, ka f(x) = (ea ◦ g −1 ) (x) = cosa g −1 (x) + i sina g −1 (x) jebkuram x ∈ R.
Tātad nepārtraukta homomorfisma f : R • → S reālā sastāvdal¸a cosa g −1 (x) un imaginārā
sastāvdal¸a sina g −1 (x) ir elementārās funkcijas (atzīmēsim, ja g(x) = b x , tad g −1 (x) =
log b x, tāpēc f(x) = (ea ◦ log b) (x), ja b = 1, un f(x) = 1, ja b = 1).
• Apskatīsim identiski nenulles nepārtrauktu homomorfismu f : S → R + un
patval¸īgu nepārtrauktu homomorfismu g : R + → S. No 2.7. teorēmas seko, ka g(x) =
ea(x) kādam a > 0, pie tam g (R) = S. Acīmredzot, h = f ◦ g : R + → R + - nepārtraukts
homomorfisms. No 1.1. teorēmas seko, ka h(x) = bx, kur b = 0, b ∈ R. Tātad
f (ea(x)) = bx jebkuram x ∈ R (a > 0, b = 0, b ∈ R). Vienkārˇsības labad pieņemsim, ka
a = 2π. Tad jebkuram t ∈ R ir spēkā f (ea(t)) = bt jeb f(cos t + i sin t) = bt, kur b = 0,
b ∈ R.
Ja z = cos t + i sin t ∈ S+ (S+ - augˇsējā pusriņk¸a līnija), tad eksistē tāds x ∈ [−1; 1],
ka
z = cos(arccos x) + i sin(arccos x) = x + i √ 1 − x 2 .
Tāpēc
Tāpēc
g(x) = f(z) = f
x + i √ 1 − x2
= b arccos x, x ∈ [−1; 1].
Ja z = cos t + i sin t ∈ Sl (Sl - labā pusriņk¸a līnija), tad eksistē tāds y ∈ [−1; 1], ka
z = cos(arcsin y) + i sin(arcsin y) = 1 − y 2 + iy.
g(y) = f(z) = f
1 − y2 + iy = b arcsin y, y ∈ [−1; 1].
Līdzīgi apskata gadījumus, kad z = cos t + i sin t ∈ S− (S− - apakˇsējā pusriņk¸a līnija)
un z = cos t+i sin t ∈ Sk (Sk - kreisā pusriņk¸a līnija). Tātad visi iespējamie nepārtrauktie
homomorfismi f : S → R + reducējas uz elementārajām funkcijām b arccos x un b arcsin y.
Pārējie nepārtrauktie homomorfismi f : S → R • un f : S → S tiek aplūkoti līdzīgi
(skat. 26. un 27. uzdevumu).
Visu paragrāfa sākumā minēto nepārtraukto homomorfismu raksturojums ir sniegts
tabulā, ņemot vērā arī iepriekˇs minētos uzdevumus.