PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

12 I nodal¸a. NEPIECIEˇ SAMĀS ZIŅAS NO ALGEBRAS UN ANALĪZES
1.1. piezīme. Tā kā homomorfisma F vērtību apgabals iekl¸aujas homomorfisma f
vērtību apgabala slēgumā, tad gadījumā, kad f ir grupas X homomorfisms grupas
Y slēgtā (attiecībā pret Y topoloˇgiju) apakˇsgrupā Y , attēlojums F būs grupas
R + homomorfisms grupā Y . Piemēram, ja homomorfisms f pieņem tikai reālas
vērtības, tad F būs grupas R + homomorfisms grupā Y = R \ {0} = R ◦ ; ja pie tam
visas homomorfisma f vērtības ir pozitīvas, tad F - grupas R + homomorfisms grupā
R • ; ja visas homomorfisma f vērtības pēc modul¸a ir vienādas ar 1, tad F - grupas
R + homomorfisms grupā S.
1.3. Intervālu invariance attiecībā pret nepārtrauktām funkcijām
g : R → R
1.3. teorēma. Pieņemsim, ka g : R → R ir nepārtraukta funkcija. Tad ir spēkā ˇsādi
apgalvojumi:
1. ja J - intervāls, J ⊂ D (g), tad g (J) arī ir intervāls, pie tam, ja J - nogrieznis,
tad g (J) arī ir nogrieznis;
2. ja g - injektīva funkcija intervālā J, tad g - stingri monotona funkcija intervālā
J, pie tam funkcija g intervāla J iekˇsējos punktus attēlo par intervāla g (J)
iekˇsējiem punktiem.
◮ Teorēmas pierādījumu skat. [7, 30.-31., 41.-42. lpp.].◭
1.4. Riņk¸a līnijas un skaitl¸u taisnes homeomorfisms
1.4. teorēma. Riņk¸a līnija, no kuras ir izmests kāds viens punkts, ir homeomorfa
skaitl¸u taisnei.
◮ Pierādīsim, ka tā saucamā stereogrāfiskā projekcija (precīzāk, tās plakanais variants)
ir meklējamais homeomorfisms.
Plaknē apskatīsim riņk¸a līniju S ar centru punktā O. Pieņemsim, ka B ir fiksēts riņk¸a
līnijas S punkts, bet t - taisne, kura iet caur centru O un ir perpendikulāra taisnei OB.
Attēlojumu, kas katram riņk¸a līnijas S punktam C, C = B, piekārto taiˇsņu t un BC
krustpunktu D, sauc par stereogrāfisko projekciju ar centru punktā B. Punktu D
sauc par punkta C stereogrāfisko projekciju no centra B.
Atradīsim ˇsīs stereogrāfiskās projekcijas analītiskās formulas.
Pieņemsim, ka plaknē ir dota Dekarta taisnleņk¸a koordinātu sistēma Oxy. Nezaudējot
izklāsta vispārīgumu, var uzskatīt, ka S ir vienības riņk¸a līnija ar centru punktā O(0; 0),
bet punkta B koordinātas ir (−1; 0). Tad taisne t sakritīs ar asi Oy (skat. ?? zīm.).
Stereogrāfisko projekciju ar centru punktā B apzīmēsim ar f. Tad D = f(C) jebkuram
riņk¸a līnijas S punktam C, C = B, t.i., t = f(x; y), kur t - punkta D koordināta uz taisnes
Oy. Pieņemsim, ka CE||OD. Acīmredzot, trijstūri BEC un BOD ir līdzīgi. Tāpēc |OD|
|EC| =
|OB|
|EB|
. Tā kā |OB| = 1, |EB| = 1 + x un |EC| = |y|, tad |OD| = |y|
1+x
f tiek uzdots ar formulu t = f(x; y) = y
1+x
. Tātad attēlojums
. Tā kā x = −1, tad funkcija f(x; y) = y
1+x
ir divu argumentu x un y nepārtraukta funkcija. Attēlojums f ir injektīvs, jo jebkura
taisne, kura iet caur punktu B, krusto riņk¸a līniju S tikai vienā punktā. Attēlojums f ir