PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

22 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
1) f(x + y) = f(x) · f(y) jebkuriem x, y ∈ R;
2) f - nepārtraukta funkcija.
2.4. definīcija. Par eksponentfunkciju ar bāzi a, kur a > 0, sauc patval¸īgu eksponentfunkciju,
kurai piemīt papildīpaˇsība:
3) f(1) = a.
Eksponentfunkciju ar bāzi a apzīmē ar a x .
Eksponentfunkcija ar bāzi a ir definēta visiem x∈R, tās vērtības pieder pozitīvo reālo
skaitl¸u kopai. Eksponentfunkciju ar bāzi a < 0 neaplūkosim, jo, piemēram, (−2) 3 nav
pozitīvs skaitlis, bet (−2) 1
2 nav pat reāls skaitlis.
2.2.2. Eksponentfunkcijas eksistence un vienīgums
Atˇsk¸irībā no lineārās funkcijas, nav acīmredzams, vai eksistē kaut viena eksponentfunkcija
a x , bet, ja eksistē, vai tā ir vienīgā. Lai rastu atbildes uz ˇsiem jautājumiem,
atcerēsimies labi zināmās pozitīva skaitl¸a a racionālas pakāpes īpaˇsības:
1) a r > 0, kur r∈Q;
2) a r1+r2 = a r1 a r2 , kur r1, r2 ∈ Q,
no kurām seko, ka funkcija f(r) = a r , r∈Q, ir grupas R + apakˇsgrupas Q + homomorfisms
grupā R • . Nākamajā teorēmā tiek pierādīts, ka ˇsāda veida funkcijas apraksta visus grupas
Q + homomorfismus grupā R • .
2.2. teorēma. Pieņemsim, ka kopā Q definētai funkcijai f0 piemīt ˇsāda īpaˇsība:
1 ′ ) f0(r1 + r2) = f0(r1) · f0(r2) jebkuriem r1, r2∈Q.
Ja vismaz vienam r0∈Q ir spēkā f0(r0) = 0, tad f0(r) = a r jebkuram r∈Q, kur
a = f0(1) > 0.
◮ No vienas puses, saskaņā ar 1 ′ ) atrodam, ka jebkuram r∈Q ir spēkā
r r
r
r
f0(r) = f0 + = f0 · f0 = f
2 2 2 2
2
r
0 ≥ 0,
2
tāpēc f0(r0) > 0. No otras puses, tā kā f0(r0) = f0(r) · f0(r0 − r) jebkuram r∈Q, tad
f0(r) = 0 jebkuram r∈Q. Tātad f0(r) > 0 jebkuram r∈Q. Ņemot vērā, ka funkcijai f0
izpildās 1 ′ ), secinām, ka f0 ir grupas Q + homomorfisms grupā R • .
Saskaņā ar homomorfismu vispārīgām īpaˇsībām (skat. I nodal¸as 1.1. apakˇsparagrāfu)
iegūstam:
f0(0) = 1, (2.5)
f0(−r) = [f0(r)] −1 = 1
(r ∈ Q).
f0(r)
(2.6)
Atzīmēsim, ka jebkuriem r∈Q un m∈Z ir spēkā
Tieˇsam, ja m=n∈N, tad vienādību
f0(mr) = (f0(r)) m . (2.7)
f0(nr) = (f0(r)) n
(2.8)
nav grūti pierādīt ar matemātiskās indukcijas principu, izmantojot nosacījumu 1 ′ ); ja
m = 0, tad saskaņā ar (2.5) atrodam
f0(0 · r) = f0(0) = 1 = (f0(r)) 0 ;