PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

46 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
2.11.teorēma un tās sekas l¸auj pierādīt skaitl¸a a > 0, kuram izpildās (2.16), eksistenci
un vienīgumu.
2.12. teorēma. Eksistē vienīgs skaitlis a > 0, kuram izpildās (2.16).
◮ Tā kā a = 1 > 0, tad no (2.17) un (2.23) seko, ka
e ′
1(x) = e1(x)e ′
1(0) = e1(x)α1i,
kur α1 > 0. Analoˇgiski, tā kā α1 > 0, tad no (2.17) un (2.23), ņemot vērā (2.15), iegūsim:
e ′
′
x
α1 (x) = eα1(x)e α1 (0) = e1 e ′
α1 (0), (2.24)
e ′
′
x
α1 (x) = e1 = e
α1
′
x 1
1
α1 α1
Salīdzinot (2.24) un (2.25), iegūsim, ka e ′
jeb
α1
= e1
x
α1
α1
α1i 1
α1
(0) = i. Atrodam:
eα1(x) − eα1(0)
lim
x→0 x
= i
= e1
x
α1
i. (2.25)
eα1(x) − 1
lim
= i.
x→0 x
Tātad eksistē a = α1 > 0, kuram izpildās (2.16).
Pierādīsim ˇsāda skaitl¸a a > 0 vienīgumu. Apskatīsim patval¸īgu a > 0, kuram
izpildās (2.16). Tad no (2.16) seko, ka e ′
a(0) = i. Tāpēc saskaņā ar (2.17) iegūsim:
Sprieˇzot līdzīgi kā formulas (2.25) izvedumā, atrodam:
e ′
a(x) = ea(x)i. (2.26)
ea(x) = e1
e ′
a(x) = e ′
x
1
x
1 = e1 e
a a a
′
1(0) 1
x
= e1 α1i
a a
1 α1
= ea(x) i.
a a
(2.27)
No (2.26) un (2.27) seko, ka a = α1.
noteikts viennozīmīgi.◭
Tātad skaitlis a > 0, kuram izpildās (2.16), ir
2.29. piezīme. Kā jau tika atzīmēts 2.5.5. apakˇsparagrāfā, tad skaitli a > 0, kuram
ea(x)−1
izpildās (2.16), t.i., lim = i, apzīmē ar 2π. Saskaņā ar pierādīto eksistē vienīgs
x→0 x
skaitlis 2π. Par daˇzām citām skaitl¸a π definīcijām skat. [10].
x
a
,
e2π(x)−1
Eksponentei ar bāzi a = 2π ir spēkā lim
x→0 x
(2.17) seko ˇsādas eksponentes ar bāzi a = 2π īpaˇsības:
= i jeb e ′
2π(0) = i. No (2.15) un
e ′
2π(x) = ie2π(x), x ∈ R; (2.28a)
x
e2π(x) = e1 , x ∈ R; (2.28b)
2π a
e2π(x) = ea
2π x
, a > 0, x ∈ R; (2.28c)
x
1 2π
ea(x) = e1 = e1
a 2π a x
2π
= e2π
a x
, a > 0, x ∈ R; (2.28d)
x
a
eb(x) = e1 = e1
b b x1
b
= ea
a a x
, a > 0, b > 0, x ∈ R. (2.28e)