PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

36 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
2.23. piezīme. Kā jau iepriekˇs tika atzīmēts (skat. 2.12. un 2.13. piezīmi), tad nepārtrauktības
nosacījumu eksponentfunkcijas un logaritmiskās funkcijas definīcijā
var nomainīt ar citiem ekvivalentiem nosacījumiem, piemēram, ar monotonitātes
nosacījumu. No formulas (2.11) seko, ka tas ir spēkā arī pakāpes funkcijai, t.i.,
pakāpes funkciju var definēt kā monotonu grupas R • homomorfismu sevī (skat.
2.9. paragrāfa 6. uzdevumu).
2.5. Eksponenciālā funkcija kā nepārtraukts grupas R + homomorfisms
grupā S
Lai arī kāds no daudzajiem sinusa un kosinusa trigonometrisko funkciju definēˇsanas
paņēmieniem netiktu apskatīts, būs līdzīgas gan attiecīgās definīcijas un īpaˇsības, gan to
izmantoˇsana uzdevumu risināˇsanā.
Sinusa un kosinusa trigonometriskās funkcijas ir viena otru “pavadoˇsas” funkcijas,
tāpēc ir dabiski tās aplūkot vienlaicīgi, t.i., kā nepārtrauktu funkciju f : R → C, ka
f(x) = (cos x; sin x) jebkuram x ∈ R (komplekso skaitl¸u kopa C tiek interpretēta kā reālo
skaitl¸u sakārtotu pāru kopa ar attiecīgajām saskaitīˇsanas un reizināˇsanas īpaˇsībām). Tā kā
sinusa un kosinusa trigonometriskajām funkcijām ir jāapmierina identitāte cos 2 x+sin 2 x =
1, x ∈ R, tad var secināt, ka ir jāaplūko nepārtrauktu funkciju f : R → S, kur S
ir visu komplekso skaitl¸u, kuru modulis ir vienāds ar 1, kopa, citiem vārdiem sakot, S
ir vienības riņk¸a līnija kompleksajā plaknē C. Kopa S ir apveltīta ar dabisku grupas
operāciju - kopas S elementu reizināˇsanu. Tas l¸auj S traktēt kā multiplikatīvu grupu.
Lai ˇsī funkcija f būtu līdzīga iepriekˇs aplūkotajām lineārai funkcijai, eksponentfunkcijai,
logaritmiskai un pakāpes funkcijai, tad funkcijai f ir jābūt ne vienkārˇsi nepārtrauktam
kopas R attēlojumam kopā S, bet gan nepārtrauktam grupas R + homomorfismam grupā S.
ˇSādus nepārtrauktus homomorfismus sauc par eksponenciālajām funkcijām jeb vienkārˇsi
par eksponentēm.
Nepārtrauktam kopas R attēlojumam kopā S var sniegt ˇsādu mehānisku interpretāciju:
kopu R uzlūko kā bezgalīgu diegu, kuru “uztin” uz riņk¸a līnijas. Vārds “uztin” ˇsajā
gadījumā nav īpaˇsi veiksmīgs, jo diegs var pārklāt tikai riņk¸a līnijas dal¸u, bet var pārklāt
arī visu riņk¸a līniju, pie tam tas patval¸īgā vietā un veidā var mainīt uztīˇsanas virzienu.
Taču, ja attēlojums f ir arī homomorfisms (attiecībā pret saskaitīˇsanu kopā R un
reizināˇsanu kopā S), tad vārds “uztin” samērā precīzi raksturo attēlojumu f, jo patval¸īgu
eksponenti var intuitīvi aprakstīt ˇsādi: punkti . . . − 2a, −a, 0, a, 2a, . . . , kur a ir kāds
pozitīvs skaitlis, attēlojas par punktu 1 ∈ S, pie tam katrs no nogrieˇzņiem
. . . [−2a; −a], [−a; 0], [0; a], [a; 2a], . . .
vienmērīgi, periodiski un konstantā virzienā pārklāj visu riņk¸a līniju S. Attēlojuma f
periodiskums ir nepārtrauktības un homomorfisma sekas.
2.5.1. Eksponentes definīcija
2.9. definīcija. Par eksponenciālo funkciju (vai vienkārˇsi par eksponenti) sauc
jebkuru nepārtrauktu grupas R + homomorfismu grupā S, t.i., jebkuru funkciju f :
R→S, ka
1 0 f(x + y) = f(x) · f(y) jebkuriem x, y∈R;
2 0 f - nepārtraukta funkcija.