PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

18 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
◮ Tā kā x + (−x) = 0, tad, ņemot vērā 1 0 un 4 0 īpaˇsību, atrodam: f(x) + f(−x) =
f(x + (−x)) = f(0) = 0, no kurienes seko, ka f(−x) = −f(x).◭
Nākamā īpaˇsība ir interesanta ar to, ka tā ir saistīta ar reizināˇsanu (laukā R), kura
netiek izmantota 2.1. un 2.2. definīcijā.
6 0 f(λx) = λf(x) jebkuriem λ, x ∈ R.
◮ Fiksēsim x ∈ R.
a) Ja λ = n ∈ N, tad vienādību f(λx) = λf(x) pierāda ar matemātiskās indukcijas
principa palīdzību.
Indukcijas bāze. Ja n = 1, tad vienādība ir patiesa, jo f(1 · x) = f(x) = 1 · f(x).
Induktīvā pāreja. Pieņemsim, ka vienādība ir patiesa parametram n = p ∈ N, t.i.,
f(px) = pf(x) (- induktīvais pieņēmums). Pierādīsim, ka vienādība ir patiesa parametram
n = p + 1. Tieˇsām, tā kā (p + 1)x = px + x, tad, ņemot vērā 1 0 īpaˇsību, atrodam:
f((p + 1)x) = f(px + x) = f(px) + f(x) = pf(x) + f(x) = (p + 1)f(x).
Indukcijas secinājums. Tātad vienādība ir patiesa jebkuram n ∈ N.
b) Ja λ = −n, kur n ∈ N, tad, ņemot vērā 5 0 īpaˇsību un 6 0 īpaˇsības a) punktu,
atrodam:
f(λx) = f(−nx) = −f(nx) = −nf(x) = λf(x).
c) Ja λ = m ∈ Z, tad vienādības patiesums seko no 40 īpaˇsības (ja λ = 0), 60 īpaˇsības
a) punkta (ja λ ∈ N) un 60 īpaˇsības b) punkta (ja λ = −n, kur n ∈ N).
d) Apskatīsim gadījumu, kad λ = r ∈ Q. Pieņemsim, ka r = m,
kur m ∈ Z un n ∈ N.
n
Atzīmēsim, ka, ja m = 1, tad, ņemot vērā 60 īpaˇsības a) punktu, iegūsim, ka jebkuram
n ∈ N ir spēkā
f(x) = f n 1
n x
1
= nf
n x
1
jeb f
n x
= 1
n f(x).
Tāpēc, ņemot vērā 60 īpaˇsības c) punktu, iegūsim:
m
f(rx) = f
n r
1
= f m
n x
1
= mf
n x
= m 1
f (x) = r f (x) , m ∈ Z.
n
e) Apskatīsim gadījumu, kad λ ∈ I = R \ Q. Pieņemsim, ka (rn) ir racionālu skaitl¸u
virkne, kas konverˇgē uz skaitli λ. Atrodam:
f(λx) = f
lim
n→∞ rn
x = f lim
n→∞ rnx
= lim f(rnx) =
n→∞
= lim
n→∞ rnf(x) =
Tātad vienādība f(λx) = λf(x) ir spēkā jebkuriem λ, x ∈ R.◭
lim
n→∞ rn
f(x) = λf(x).
2.1. piezīme. Ievērosim, ka 6 0 īpaˇsības pierādījumā funkcijas f nepārtrauktība tika
izmantota tikai vienādību k¸ēdītes (skat. ˇsīs īpaˇsības e) punktu) treˇsajā vienādībā,
tāpēc īpaˇsība:
6 ′ 0 f(λx) = λf(x) jebkuriem λ ∈ Q un x ∈ R,
ir 2.1. definīcijas 1 0 nosacījuma sekas.