PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

More documents

Recommendations

Info

4 paˇsa, ja ne vēl lielāka, daˇzādība ir vērojama, apskatot citu elementāro pamatfunkciju, īpaˇsi trigonometrisko un inverso trigonometrisko funkciju, definēˇsanas veidus. Tāpēc ir dabiski mēˇgināt definēt elementārās pamatfunkcijas, izmantojot kādu vienotu pieeju, kura l¸autu noskaidrot ˇso funkciju būtību un atbildēt uz virkni jautājumu, piemēram, kāpēc ˇsīs funkcijas parasti tiek aplūkotas kopā, kas tām ir kopīgs un kāpēc tām ir tik ievērojama loma matemātikā un tās pielietojumos? ˇSāda vienota pieeja ir iespējama, izmantojot aksiomātisko metodi, ja ievērot, ka lineārā funkcija, eksponentfunkcija, logaritmiskā un pakāpes funkcija ir tikai divu skaitlisku grupu R • un R + nepārtraukti homomorfismi, kur R + ir reālo skaitl¸u aditīvā grupa, bet R • - pozitīvo reālo skaitl¸u multiplikatīvā grupa. Dotā mācību līdzekl¸a II nodal¸as 2.1., 2.2., 2.3. un 2.4. paragrāfā tiek pierādīts, ka nav citu nepārtrauktu homomorfismu starp grupām no kopas {R + ; R • }, kā tikai iepriekˇs atzīmētie - lineārā funkcija, eksponentfunkcija, logaritmiskā un pakāpes funkcija. Citiem vārdiem sakot, nevar atklāt jaunas elementārās pamatfunkcijas - nepārtrauktus homomorfismus), ja neizmantot atˇsk¸irīgas no R • un R + grupas. Saskaņā ar iepriekˇs teikto sinuss un kosinuss nesakrīt ne ar vienu no nepārtrauktajiem homomorfismiem starp grupām no kopas {R + ; R • }. Parasti ˇsīs funkcijas tiek aplūkotas kopā, tāpēc ir dabiski tās uzlūkot kā vienas funkcijas f(x) = (cos x; sin x) : R → C “divas pusītes”, kur R un C ir attiecīgi visu reālo skaitl¸u kopa un visu komplekso skaitl¸u kopa. Identitāte cos 2 x + sin 2 x = 1 l¸auj “precizēt” ˇso funkciju, uzskatot, ka f : R → S, kur S ir vienības riņk¸a līnija kompleksajā plaknē C. Kopa S ir apveltīta ar dabisku grupas operāciju - kopas S punktu, kuri tiek uzlūkoti kā kompleksi skaitl¸i, reizināˇsanu. Tas l¸auj S traktēt kā multiplikatīvu grupu. Tāpēc sinusa un kosinusa trigonometriskās funkcijas var tikt definētas kā nepārtraukta grupas R + homomorfisma grupā R • “divas pusītes”. ˇSāda aksiomātiskā pieeja, lai definētu sinusa un kosinusa trigonometriskās funkcijas, ir realizēta dotā mācību līdzekl¸a II nodal¸as 2.5. un 2.6. paragrāfā. Ja II nodal¸as 2.5. un 2.6. paragrāfā tiek aplūkotas skaitliska argumenta trigonometriskās funkcijas, tad ˇsīs paˇsas nodal¸as 2.7. paragrāfā tiek aplūkotas leņk¸iska argumenta trigonometriskās funkcijas. Turpat tiek aplūkoti tādi jēdzieni kā “leņk¸is”, “leņk¸a mērs” u.c., kuri tiek izmantoti leņk¸iska argumenta trigonometrisko funkciju teorijā. II nodal¸as 2.8. paragrāfā tiek pierādīts, ka jebkurˇs nepārtraukts homomorfisms starp grupām no kopas {R + ; R • ; S} ir vai nu elementārā pamatfunkcija, vai arī funkcija, kuru iegūst no elementārajām pamatfunkcijām, pielietojot pamatoperācijas (- saskaitīˇsanu, reizināˇsanu un kompozīciju) galīgu skaitu reiˇzu, citiem vārdiem sakot, elementārā funkcija. Homomorfismus starp grupām no kopas {R + ; R • } raksturo ˇsādi Koˇsī funkcionālvienādojumi: f(x + y) = f(x) + f(y), f(x + y) = f(x) · f(y), f(x · y) = f(x) + f(y), f(x · y) = f(x) · f(y). Tāpēc elementārās pamatfunkcijas - lineārā funkcija, eksponentfunkcija, logaritmiskā un pakāpes funkcija - var tikt definētas kā attiecīgo funkcionālvienādojumu nepārtraukti atrisinājumi. Sinusa un kosinusa trigonometriskās funkcijas var definēt vienlaicīgi kā divu funkcionālvienādojumu sistēmas ar diviem nezināmajiem nepārtrauktu atrisinājumu (skat. II nodal¸as 2.9. paragrāfa 30. uzdevumu). Ir iespējams definēt ˇsīs funkcijas arī
atseviˇsk¸i, t.i., katru no ˇsīm funkcijām definēt kā viena funkcionālvienādojuma ar vienu mainīgo nepārtrauktu atrisinājumu (skat., piemēram, II nodal¸as 2.9. paragrāfa 28. un 29. uzdevumu, kā arī [5, 64.-66. lpp.]). ˇSajā mācību līdzeklī izmantotā pieeja elementāro pamatfunkciju definēˇsanai, t.i., kad elementārās pamatfunkcijas tiek definētas kā nepārtraukti homomorfismi starp grupām no kopas {R + ; R • ; S}, l¸auj izklāstīt elementāro pamatfunkciju teoriju pēc ˇsādas shēmas: vispirms tiek sniegta attiecīgās elementārās pamatfunkcijas aksiomātiskā definīcija, tad, izejot no aksiomām, tiek iegūtas pamatīpaˇsības, un, visbeidzot, tiek pierādīta teorēma par funkcijas eksistenci un vienīgumu. Autori ir vairākkārt lasījuˇsi lekcijas un vadījuˇsi seminārus par elementāro pamatfunkciju aksiomātisko teoriju. ˇ Sīs nodarbības vienmēr ir izraisījuˇsas interesi klausītājos, tāpēc dotais mācību līdzeklis ir veltīts, galvenokārt, studentiem, kuri apgūst matemātikas bakalaura akadēmisko studiju programmu un matemātikas skolotāja profesionālo studiju programmu, kā arī maˇgistrantiem, kuri studē matemātiku. Daˇzi mācību līdzeklī aplūkotie jautājumi būs noderīgi arī matemātikas skolotājiem, it īpaˇsi tiem, kuri pasniedz profilkursu. Dotā mācību līdzekl¸a I nodal¸ā ir apkopotas tās ziņas no algebras un analīzes, kuras tiek izmantotas II nodal¸ā, kura ir veltīta elementāro pamatfunkciju aksiomātiskajai teorijai. Ar D(f) un R(f) tiek apzīmēti attiecīgi funkcijas f definīcijas un vērtību kopa, bet ar ◮ un ◭ - kāda apgalvojuma pierādījuma attiecīgi sākums un beigas. Autori sirsnīgi pateicas visiem tiem DU Matemātiskās analīzes katedras kolēˇgiem, kuri piedalījās kursa “Matemātiskās analīzes sākumi un algebras zinātniskie pamati” koncepcijas un ideju apsprieˇsanā. 5
Page 1 and 2: Daugavpils Universitāte MATEMĀTIK
Page 3: IEVADS Matemātikas skolotāju prof
Page 8 and 9: 8 I nodal¸a. NEPIECIEˇ SAMĀS ZI
Page 18 and 19: 18 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FU
Page 54 and 55:
54 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FU
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
66 LITERAT ŪRA
Page 68:
68 SATURS 2.6. Skaitliska argumenta
show all

PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?