PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

44 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
2.5.5. Skaitl¸a 2π aksiomātiskā definīcija
Vēsturiski skaitli 2π (attiecīgi π) definēja kā vienības riņk¸a līnijas garumu (attiecīgi
vienības riņk¸a laukumu). Taču ˇsāda pieeja pieprasa vispirms definēt riņk¸a līnijas garumu
(attiecīgi riņk¸a laukumu).
Skaitli 2π var definēt aksiomātiski: par skaitli 2π sauc tādu pozitīvu skaitli a, ka
ea (x) − 1
lim
x→0 x
= i. (2.16)
Rodas jautājums: vai skaitlis 2π eksistē, un, ja eksistē, vai tas ir vienīgs, ja skaitli 2π
definēt ar formulu (2.16)? Tā kā
ea(x) − 1
x
= ea(x) − ea(0)
,
x − 0
tad, acīmredzot, robeˇzas (2.16) eksistences pierādījumam ir jābalstās uz eksponentes diferenciālajām
īpaˇsībām.
2.11. teorēma. Eksponente ea(x) ar bāzi a, a > 0, ir diferencējama funkcija, pie tam
e ′
a(x) = ea(x)e ′
a(0). (2.17)
◮ Tā kā ea(0) = 1 un ea(x) ir nepārtraukta funkcija, tad patval¸īgam ε, 0 < ε < 1,
eksistē δ, δ > 0, ka jebkuram t, |t − 0| < δ, izpildās nevienādība
|ea(x) − 1| < ε
. (2.18)
2
Apskatīsim tādu c ∈ R, ka 0 < c < δ. Tad jebkuram t ∈ [0; c] izpildās nevienādība
(2.18). Atrodam:
c
1
ea (t) dt − 1
c
=
c
1
ea (t) dt −
c
1
c
dt
c
=
c
1
[ea (t) − 1] dt
ε 1 ε
c
≤ c = < ε.
2 c 2
0
Tā kā 0 < ε < 1, tad
0
0 < 1 − ε < 1
c
No nevienādības (2.19) seko, ka 1
c
c
0
Apskatīsim funkciju
0
c
0
ea (t) dt = 0.
g(x) =
c
0
0
ea (t) dt < 1 + ε. (2.19)
ea (x + t) dt.
No eksponentes 2 0 īpaˇsības seko, ka ea(x + t) = ea(x)ea(t), tāpēc
c
g(x) = ea(x) ea(t)dt
0