PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

8 I nodal¸a. NEPIECIEˇ SAMĀS ZIŅAS NO ALGEBRAS UN ANALĪZES
gadījumā grupu sauc par aditīvu grupu, bet otrajā - multiplikatīvu grupu. Ja (X; ω)
ir aditīva grupa, tad kopas X elementu ω(x; y), kur x, y ∈ X, sauc par elementu x un
y summu un apzīmē ar x + y; ja (X; ω) ir multiplikatīva grupa, tad kopas X elementu
ω(x; y), kur x, y ∈ X, sauc par elementu x un y reizinājumu un apzīmē ar xy.
Aditīvas grupas neitrālo elementu apzīmē ar O un sauc par nulli; multiplikatīvas
grupas neitrālo elementu apzīmē ar 1 un sauc par vieninieku.
Ja (X; ω) ir aditīva grupa, tad kopas X elementa x ∈ X inverso elementu apzīmē ar
−x un sauc par elementa x ∈ X pretējo elementu; summu y + (−x) apzīmē ar y − x
un sauc par elementu y un x starpību.
Ja (X; ω) ir multiplikatīva grupa, tad kopas X elementa x ∈ X inverso elementu
apzīmē ar x−1 (vai 1)
un sauc par elementa x ∈ X apgriezto elementu; reizinājumu
x
yx−1 apzīmē ar y
un sauc par elementu y un x dalījumu.
x
Pieņemsim, ka (X; ω) ir grupa, bet X0 ir kāda kopas X apakˇskopa. Apskatīsim
attēlojuma ω : X2 → X saˇsaurinājumu kopā X2 0 = X0 × X0, t.i., attēlojumu ω0 = ω
X2, 0
ka jebkuriem x, y ∈ X0 ir spēkā ω0(x; y) = ω(x; y). Ja (X0; ω0) ir grupa, tad (X0; ω0) sauc
par grupas (X; ω) apakˇsgrupu. ˇ Sajā gadījumā vienkārˇsības labad paˇsu kopu X0 sauc
par grupas X apakˇsgrupu.
Kopa X0 ir aditīvas grupas X apakˇsgrupa tad un tikai tad, kad a) X0 ⊂ X; b) x + y ∈
X0 jebkuriem x, y ∈ X0; c) O ∈ X0; d) −x ∈ X0 jebkuram x ∈ X0.
Kopa X0 ir multiplikatīvas grupas X apakˇsgrupa tad un tikai tad, kad a) X0 ⊂ X;
b) xy ∈ X0 jebkuriem x, y ∈ X0; c) 1 ∈ X0; d) x−1 ∈ X0 jebkuram x ∈ X0.
Pieņemsim, ka X un Y ir grupas. Ja attēlojums f : X → Y ir saskaņots ar ˇso grupu
operācijām, tad f sauc par grupas X homomorfismu grupā Y . Bijektīvu attēlojumu
f : X → Y , kurˇs ir saskaņots ar ˇso grupu operācijām, sauc par grupas X izomorfismu
par grupu Y . Ja f : X → Y ir grupas X izomorfisms par grupu Y , tad attēlojuma f
inversais attēlojums f −1 : Y → X ir grupas Y izomorfisms par grupu X. Divas grupas
X un Y sauc par izomorfām grupām, ja eksistē vismaz viens vienas no ˇsīm grupām
izomorfisms par otru grupu.
Ja f : X → Y ir grupas X izomorfisms par grupu Y , tad grupas X apakˇsgrupas
X0 attēls f(X0) ˇsajā attēlojumā ir grupas Y apakˇsgrupa, bet grupas Y apakˇsgrupas Y0
pirmtēls f −1 (Y0) ˇsajā attēlojumā ir grupas X apakˇsgrupa. Ja Y ir multiplikatīva grupa,
bet 1 ir ˇsīs grupas vieninieks, tad, acīmredzot, {1} ir grupas Y apakˇsgrupa, bet f −1 ({1})
ir grupas X apakˇsgrupa. ˇ So grupas X apakˇsgrupu sauc par homomorfisma f kodolu.
Atzīmēsim daˇzas homomorfisma f : X → Y vienkārˇsākās īpaˇsības. Noteiktības labad
pieņemsim, ka X ir aditīva grupa, bet Y - multiplikatīva grupa (turpmāk tieˇsi ˇsādus
homomorfismus apskatīsim visbieˇzāk).
a) f(O) = 1, kur O - grupas X neitrālais elements, bet 1 - grupas Y neitrālais elements.
b) f(−x) = [f(x)] −1 jebkuram x ∈ X.
c) f(x1 − x2) = f(x1) · [f(x2)] −1 jebkuriem x1, x2 ∈ X.
◮ Tā kā f : X → Y ir homomorfisms, tad f(O) = f(O + O) = f(O) · f(O), no
kurienes seko, ka f(O) = 1. Tātad 1 = f(O) = f(x + (−x)) = f(x) · f(−x), no kurienes
izriet, ka f(−x) = [f(x)] −1 , t.i., f(−x) ir elementa f(x) apgrieztais elements grupā Y .
Tādējādi f(x1 − x2) = f(x1 + (−x2)) = f(x1) · f(−x2) = f(x1) · [f(x2)] −1 .◭
Grupu (X; ω) sauc par komutatīvu grupu (vai Ābela grupu), ja operācija ω ir
komutatīva, t.i., ω(x; y) = ω(y; x) jebkuriem x, y ∈ X. Turpmāk apskatīsim tikai komutatīvas
grupas.
Pieņemsim, ka X + = (X; +) - aditīva grupa, bet X ◦ = (X \ {O}; ·) - multiplikatīva
grupa (O - grupas X + neitrālais elements). Trijnieku (X; +; ·) sauc par lauku, ja