PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

2.9. Uzdevumi 61
R +
R •
R +
∀x ∈ R : f(x) = ax, kur a ∈ R ∀x ∈ R : f(x) = a x , kur a > 0,
vai arī ∀x ∈ R : f(x) = 1
∀x ∈ R>0 : f(x) = loga (x), kur ∀x ∈ R>0 : f(x) = x
a > 0, a = 1, vai arī ∀x ∈ R>0 :
f(x) = 0
a , kur a ∈
R
S ∀x ∈ R : f(ea(x)) = bx, kur ∀x ∈ R : f(e2π(x)) = a
a > 0, b = 0, b ∈ R, vai arī
∀x ∈ R : f(x) = 0
bx , kur
a > 0, a = 1, b = 0, b ∈ R, vai
arī ∀x ∈ R : f(e2π(x)) = 1
R •
S
∀x ∈ R : f(x) = ea(x), kur a > 0,
vai arī ∀x ∈ R : f(x) = 1
∀x ∈ R>0 : f(x) = (ea ◦ logb )(x),
kur a > 0, b > 0, b = 1, vai arī
∀x ∈ R>0 : f(x) = 1
∀x ∈ R : f(e2π(x)) = e2π(bx),
kur b ∈ R
Autori uzskata, ka, elementāro pamatfunkciju aksiomātiskās teorijas izklāsts nevar
būt pilnīgs, ja netiek apskatīti daˇzādi konkrēti elementāro pamatfunkciju definēˇsanas
paņēmieni (t.i., konkrēti grupu R + , R • un S nepārtrauktu homomorfismu definēˇsanas
paņēmieni). Autoriem nav zināma matemātiskā literatūra, kurā vispusīgi tiktu aplūkoti
daˇzādi elementāro pamatfunkciju definēˇsanas paņēmieni, izņemot, varbūt, mācību līdzekli
[5], kurā tiek apskatīti daˇzi no tiem.
Autori ir iecerējuˇsi dotā mācību līdzekl¸a turpinājumu “Elementāro pamatfunkciju
definēˇsanas paņēmieni”, kurā tiks aplūkotas sekojoˇsas tēmas:
• elementārās pamatfunkcijas kā integrāl¸i ar mainīgu augˇsējo robeˇzu, vai arī to apgrieztie
lielumi;
• elementārās pamatfunkcijas kā diferenciālvienādojumu atrisinājumi;
• elementārās pamatfunkcijas kā funkcionālu virkņu robeˇzas;
• elementārās pamatfunkcijas kā pakāpju rindu summas.
2.9. Uzdevumi
1. Pieņemsim, ka f : R → R ir grupas R + izomorfisms sevī. Atrast funkcijas f inversās
funkcijas veidu un pierādīt, ka tā ir lineāra funkcija.
2. Pierādīt, neizmantojot lineārās funkcijas 9 0 īpaˇsību, ka monotona funkcija f : R →
R, ka jebkuriem x, y ∈ R ir spēkā f(x + y) = f(x) + f(y), ir lineāra funkcija.
3. Pieņemsim, ka R n ir n-dimensiju aritmētiskā Eiklīda telpa. Funkciju ℓ : R n → R
sauc par lineāru funkciju, ja izpildās ˇsādi nosacījumi:
aditivitate: jebkuriem h1, h2 ∈ R n ir spēkā ℓ(h1 + h2) = ℓ(h1) + ℓ(h2);
homogenitāte: jebkuram h ∈ R n un patval¸īgam λ ∈ R ir spēkā ℓ(λh) = λℓ(h).
(a) Pierādīt, ka homogenitātes īpaˇsība racionāliem skaitl¸iem λ izriet no aditivitātes
īpaˇsības.
(b) Pierādīt, ka nepārtraukta funkcija ℓ : R n → R, kurai piemīt aditivitātes īpaˇsība,
ir lineāra funkcija.
(c) Pierādīt, ka ℓ : R n → R ir lineāra funkcija, ja tā ir nepārtraukta vismaz vienā
punktā un tai piemīt aditivitātes īpaˇsība.
(d) Pierādīt, ka ℓ : R n → R ir lineāra funkcija, ja tā ir ierobeˇzota funkcija kādā
punkta 0 ∈ R n apkārtnē un tai piemīt aditivitātes īpaˇsība.
(e) Pierādīt, ka jebkurai lineārai funkcijai ℓ : R n → R eksistē tāds a ∈ R n , ka
∀h ∈ R n : ℓ(h) = 〈a; h〉,