PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

40 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
ir nepārtrauktas. Aplūkosim ˇsīs funkcijas nogrieznī 0; a
un pārliecināsimies, ka tās ir
4
nenegatīvas ˇsajā nogrieznī. Vispirms atzīmēsim, ka
g1(0) = (P1 ◦ f) (0) = P1 (f(0)) = P1(1) = 1,
a
a
g1 = P1 f = P1(i) = 0.
4
4
Ja pieņemt pretējo, ka eksistē tāds t, 0 < t < a
4 , ka g1(t) < 0, tad saskaņā ar Bolcano
teorēmu par starpvērtībām eksistē tāds t0, 0 < t0 < t, ka g1(t0) = 0. Tāpēc f(t0) = ±i.
Taču, no vienas puses, f(t0) = i, jo funkcija f ir injektīva intervālā [0; a), bet 0 < t0 <
a
4 < a un f
a = i; no otras puses, f(t0) = −i, jo funkcija f ir injektīva intervālā [0; a),
4
bet 0 < a 3a < 4 4 < a − t0 < a un f(a − t0) = f(a)f(t0) = 1i = i. Iegūtā pretruna pierāda,
ka funkcija g1 ir nenegatīva nogrieznī 0; a
. Sprieˇzot līdzīgi, pierāda, ka arī funkcija g2 ir
4
nenegatīva nogrieznī 0; a
a
(atzīmēsim tikai, ka g2(0) = 0 un g2 = 1). Tā kā nogrieˇzņa
4
4
a
nepārtraukts attēls ir nogrieznis (skat. I nodal¸as 1.3. teorēmu), tad g1
0; = [0; 1] un
4
a
a
g2 0; = [0; 1]. Tātad kopa f 0; sakrīt ar riņk¸a līnijas pirmo ceturtdal¸u.
4
4
Tagad aplūkosim funkciju f nogrieznī
a a
a
; . Funkcija u = t − 4 2
4 nogriezni
a a ; 4 2
attēlo par nogriezni 0; a
a
a
, pie tam jebkuram u ∈ 0; ir spēkā f (t) = f u + =
4
4
4
f (u) f
a
a
= if(u). Saskaņā ar iepriekˇs pierādīto kopa f 0; sakrīt ar riņk¸a līnijas
4
4
pirmo ceturtdal¸u, bet reizināˇsana ar komplekso skaitli i ir kopas S punktu rotācija ar
centru punktā O(0; 0) par leņk¸i π
2 , tāpēc kopa f
a a ; sakrīt ar riņk¸a līnijas otro
4 2
ceturtdal¸u, t.i., attēlojums f nogriezni
a a ; sirjektīvi attēlo par riņk¸a līnijas otro
4 2
ceturtdal¸u. Analoˇgiski pierāda, ka attēlojums f nogrieˇzņus
a 3a 3a ; un 2 4 4 ; a sirjektīvi
attēlo attiecīgi par riņk¸a līnijas treˇso un ceturto ceturtdal¸u. Tādējādi attēlojums f intervālu
[0; a) sirjektīvi attēlo par visu riņk¸a līniju S, t.i., f ([0; a)) = S. Ņemot vērā, ka
attēlojums f ir injektīvs intervālā [0; a), secinām, ka attēlojums f intervālu [0; a) bijektīvi
attēlo par riņk¸a līniju S.
Ja f
a
a
= −i, tad var pierādīt, ka attēlojums f nogriezni 0; attēlo par riņk¸a līnijas
4
4
ceturto ceturtdal¸u, nogriezni
a a
a 3a
; - treˇso ceturtdal¸u, nogriezni ; - otro ceturtdal¸u,
4 2
2 4
nogriezni 3a
4 ; a - pirmo ceturtdal¸u. Tātad arī ˇsajā gadījumā attēlojums f intervālu [0; a)
bijektīvi attēlo par riņk¸a līniju S.◭
2.24. piezīme. No 2.6. teorēmas pierādījuma seko, ka, gadījumā, kad f
a = i, ekspo-
4
nente f : R + → S katru no intervāliem [ma; (m + 1) a), m ∈ Z, bijektīvi attēlo par
riņk¸a līniju S “pozitīvajā virzienā” (pretēji pulksteņa rādītāju kustības virzienam),
ar to saprotot, ka nogrieˇzņi ma; ma + a
a a
a 3a
, ma + ; ma + , ma + ; ma + ,
4
4 2
2 4
3a ma + 4 ; (m + 1) a attēlojas attiecīgi par riņk¸a līnijas pirmo, otro, treˇso un ceturto
ceturtdal¸u. Savukārt, ja f
a
+ = −i, tad eksponente f : R → S katru no
4
intervāliem [ma; (m + 1) a), m ∈ Z, bijektīvi attēlo par riņk¸a līniju S “negatīvajā
virzienā” (pulksteņa rādītāju kustības virzienā). Lai paskaidrotu frāzi “attēlo ...
pozitīvajā virzienā” (attiecīgi “attēlo ... negatīvajā virzienā”) ne tik formāli, tad
ir jāizmanto tādi jēdzieni kā vektoru lauks, pieskarvektoru lauks u.c., kuri ˇsajā
mācību līdzeklī netiek aplūkoti (lasītājs ar ˇsiem jēdzieniem var iepazīties, aplūkojot,
piemēram, [3, 41.-42. lpp.]).
2.25. piezīme. No 2.6. teorēmas pierādījuma un iepriekˇsējās piezīmes seko, ka, gadījumā,
kad f
a = i, funkcija g1(t) = (P1 ◦ f) (t) = Re f(t) nogriezni 4
0; a
bijektīvi un
2
nepārtraukti attēlo par nogriezni [−1; 1], pie tam ˇsī funkcija stingri dilst no +1 līdz
−1 (skat. I nodal¸as 1.3. teorēmu). Analoˇgiski funkcija g2(t) = (P2 ◦ f) (t) = Im f(t)