PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

2.7. Leņk¸iska argumenta sinuss un kosinuss 57
◮ Attēlojumu f : R + → An un A : An → S kompozīcija A ◦ f : R + → S ir
eksponente. Iepriekˇs tika pierādīts (skat. 2.27. piezīmi), ka ˇsajā gadījumā vai nu A ◦ f ir
identiski vienāds ar 1 ∈ S, vai arī A◦f ir eksponente ar bāzi a (a > 0). Pirmajā gadījumā
f(x) = A−1 (1) = 0 jebkuram x ∈ R. Otrajā gadījumā ir iespējami divi apakˇsgadījumi.
• Ja (A◦f)
a = i, tad no 2.9. definīcijas un 2.10. teorēmas seko, ka (A◦f)(x) = ea(x)
4
jebkuram x ∈ R, t.i., f(x) = (A−1 ◦ ea)(x) jebkuram x ∈ R.
• Ja (A◦f)
a
a
= −i, tad A ◦ f = i, kur A ◦ f (x) = A (f (x)) jebkuram x ∈ R.
4
4
Tā kā funkcija A ◦ f apmierina 2.9. definīcijas nosacījumus, tad no 2.10. teorēmas
seko, ka jebkuram x ∈ R ir spēkā A ◦ f (x) = ea(x) jeb (A ◦ f) (x) = ea(x). Tātad
f(x) = (A−1 ◦ ea) (x) jebkuram x ∈ R.◭
2.32. piezīme. No 2.16. teorēmas pierādījuma seko, ka a) gadījumā, kad (A◦f)
a = i, 4
eksponentes ea(x) (a > 0) iedarbībā skaitl¸u taisne R tiek “uztīta” uz riņk¸a līnijas
S pozitīvajā virzienā (t.i., pretēji pulksteņa rādītāju kustības virzienam). Savukārt,
tā kā punkti ea(x) un ea(x) ir simetriski attiecībā pret asi OX (riņk¸a līnijas S
horizontālo diametru), tad b) gadījumā, kad (A ◦ f)
a = −i, eksponentes ea(x)
4
(a > 0) iedarbībā skaitl¸u taisne R tiek “uztīta” uz riņk¸a līnijas S negatīvajā virzienā
(t.i., pulksteņa rādītāju kustības virzienā).
2.33. piezīme. Tā kā ea(x) = cosa x + i sina x = cos 2π
a
cos 2π
a
x − i sin 2π
a
x = cos 2π
−a
x + i sin 2π
a x, tad ea(x) =
x + i sin 2π
−a x. Tāpēc gadījumam, kad f = A−1 ◦ ea,
atbilst skaitlis a, bet gadījumam f = A −1 ◦ ea - skaitlis −a. Ja nulles attēlojumam
f piekārtot skaitli 0, tad jebkuram leņk¸u mēram f : R + → An atbildīs vienīgs parametrs
a ∈ R, kuru sauc par leņk¸u mēra f bāzi. Paˇsu leņk¸u mēru apzīmē ar fa(x) vai
Ma(x). Tāpat kā eksponentes gadījumā aplūkosim tikai leņk¸u mērus ar bāzi a > 0,
jo gadījumā, kad a = 0, leņk¸u mērs ir triviāls, bet gadījums, kad a < 0, reducējas
uz gadījumu, kad a > 0. Turpmāk uzskatīsim, ka (A ◦ f)
a = i, kur a (a > 0)
4
ir funkcijas (A ◦ f)(x) = ea(x) galvenais periods. Tā kā f
a −1 = A (i) = d, tad
4
nosacījums (A ◦ f)
a
a
= i ir ekvivalents nosacījumam f = d.
4
4
Iepriekˇs teiktais l¸auj aksiomātiski definēt leņk¸u mēru ar bāzi a (a > 0).
2.17. definīcija. Par leņk¸u mēru ar bāzi a (a > 0) sauc patval¸īgu leņk¸u mēru f,
kuram piemīt ˇsādas papildīpaˇsības:
3) a - funkcijas f galvenais periods;
4) f
a = d, kur d - taisnais leņk¸is.
4
No 2.10. teorēmas, kurā tika pierādīta eksponentes eksistence un vienīgums, un 2.16. teorēmas
seko ˇsāda teorēma.
2.17. teorēma. Jebkuram a > 0 eksistē vienīgais leņk¸u mērs Ma(x) ar bāzi a.
2.18. definīcija. Saka, ka
a) leņk¸a α mērs pie bāzes a (a > 0) ir vienāds ar x, ja Ma(x) = α;
b) leņk¸a α galvenais mērs pie bāzes a (a > 0) ir vienāds ar x, ja Ma(x) = α
un x ∈ [0; a); leņk¸a α galveno mēru pie bāzes a (a > 0) apzīmē ar ma(x).
Leņk¸a galvenais mērs ma(x) kopu [0; a) bijektīvi attēlo par kopu An. Tāpēc funkcijai
ma(x) eksistē inversā funkcija m−1 a (α) : An → [0; a), kuru arī daˇzkārt sauc par leņk¸u
galveno mēru pie bāzes a (a > 0). Parasti apskata leņk¸u mēru ar bāzi 2π, 360 vai 400.