PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

52 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
centru punktā O, kas viena leņk¸a sākummalu un beigumalu attēlo par attiecīgi otrā
leņk¸a sākummalu un beigumalu.
Viegli pierādīt, ka visu leņk¸u ar sākumpunktu O kopā definētā attieksme “būt par
vienādiem leņk¸iem” ir ekvivalence.
Atgādināsim daˇzus ˇgeometriskus faktus, kurus izmantosim iepriekˇs minētās ekvivalences
pētīˇsanā.
a c
• Visu ortogonālo matricu M = , kuru determinants ir vienāds ar 1, kopa
b d
ir komutatīva grupa attiecībā pret matricu reizināˇsanu. ˇ So grupu apzīmē ar SO2.
1 0
Grupas SO2 neitrālais elements ir matrica E = . Elementa M ∈ SO2
0 1
simetriskais elements ir matricas M inversā matrica M −1 , t.i., tāda matrica M −1 ,
ka M · M −1 = E. Jebkurai matricai M ∈ SO2
eksistē vienīgs skaitlis t ∈ [0; 2π),
cos t − sin t
ka M =
. Grupa SO2 ir izomorfa multiplikatīvajai grupai S, kura,
sin t cos t
atgādināsim, sastāv no visiem tiem un tikai tiem kompleksiem skaitl¸iem, kuru modulis
ir vienāds ar 1. Tieˇsām,
viegli pārliecināties, ka attēlojums f : SO2→ S, ka
cos t − sin t
cos t − sin t
f
= cos t + i sin t jebkurai matricai
∈ SO2,
sin t cos t
sin t cos t
t ∈ [0; 2π), ir grupas SO2 izomorfisms par grupu S.
• Ja f : R 2 → R 2 ir rotācija ar centru punktā O, tad punkta a ∈ R 2 attēls ˇsajā
attēlojumā ir vienāds ar punktu z · a, kur z ∈ S, t.i., z ir komplekss skaitlis, kura
modulis ir vienāds ar 1. Tieˇsām, no iepriekˇs teiktā seko, ka eksistē vienīgs skaitlis
t ∈ [0; 2π), ka
f(a) = f((x; y)) = (x cos t − y sin t; x sin t + y cos t)
jebkuram a = (x; y) ∈ R 2 . Apskatīsim kompleksu skaitli z = (cos t; sin t) ∈ S. Tad
z · a = (cos t; sin t) · (x; y) = (x cos t − y sin t; x sin t + y cos t).
Tātad f(a) = z · a jebkuram a ∈ R 2 , kur z ∈ S.
Iepriekˇs teiktais l¸auj definēt leņk¸a jēdzienu, izmantojot rotācijas interpretāciju kā plaknes
R 2 punktu reizināˇsanu ar kādu kompleksu skaitli z ∈ S.
Pieņemsim, ka X ir visu plaknes R 2 staru ar sākumpunktu O kopa. Kopā X 2 definēsim
attieksmi ∼ pēc ˇsāda likuma: (a; b) ∼ (c; d) tad un tikai tad, kad eksistē tāds z ∈ S, ka
c = z · a un d = z · b, kur (a; b) ∈ X 2 un (c; d) ∈ X 2 , za = {z · (x, y) : (x, y) ∈ a} ⊂ R 2 ,
zb = {z · (x, y) : (x, y) ∈ b} ⊂ R 2 . Nav grūti pierādīt, ka attieksme ∼ ir ekvivalences
attieksme. Tāpēc kopu X 2 var izteikt kā savstarpēji neˇsk¸el¸oˇsos netukˇsu ekvivalences klaˇsu
apvienojumu. To vienīgo ekvivalences klasi, kura satur elementu (a; b) ∈ X 2 , apzīmēsim
ar [(a; b)]. Tātad (a; b) ∼ (c; d) tad un tikai tad, kad [(a; b)] = [(c; d)].
2.13. definīcija. Par plaknes R 2 leņk¸i sauc patval¸īgu ekvivalences klasi attiecībā pret
iepriekˇs aplūkoto ekvivalences attieksmi kopā X 2 .
Visu plaknes R 2 leņk¸u kopu, t.i., kopas X 2 faktorkopu attiecībā pret tajā definēto
ekvivalences attieksmi ∼, apzīmē ar An (angle latīņu valodā nozīmē “leņk¸is”).