PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

62 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
kur 〈x; y〉 ir skalārais reizinājums Eiklīda telpā R n , t.i.,
〈x; y〉 def
=
n
i=1
xiyi
jebkuriem x = (x1; x2; . . . ; xn) ∈ R n un y = (y1; y2; . . . ; yn) ∈ R n .
4. Pierādīt, ka eksponentfunkcijas definīcijā (skat. 2.3. definīciju) otro nosacījumu: f -
nepārtraukta funkcija, nomainot ar jebkuru no trim nosacījumiem:
1) f - monotona funkcija;
2) f - ierobeˇzota funkcija kādā punkta x0 = 0 apkārtnē;
3) f - nepārtraukta funkcija kādā punktā x0 = 0 (vai kādā citā punktā x0),
iegūsim ekvivalentu definīciju.
5. Pierādīt, ka logaritmiskās funkcijas definīcijā (skat. 2.5. definīciju) otro nosacījumu:
f - nepārtraukta funkcija, nomainot ar jebkuru no trim nosacījumiem:
1) f - monotona funkcija;
2) f - ierobeˇzota funkcija kādā punkta x0 = 1 (vai arī kāda cita punkta x0 > 0)
apkārtnē;
3) f - nepārtraukta funkcija kādā punktā x0 = 1 (vai arī kādā citā punktā x0 > 0),
iegūsim ekvivalentu definīciju.
6. Pierādīt, ka pakāpes funkcijas definīcijā (skat. 2.7. definīciju) otro nosacījumu: f -
nepārtraukta funkcija, nomainot ar nosacījumu: f - monotona funkcija, iegūsim
ekvivalentu definīciju.
7. Pierādīt, ka pārtraukta funkcija
⎧
⎨ 1, ja x > 0,
f(x) = sign(x) = 0,
⎩
−1,
ja
ja
x = 0,
x < 0,
apmierina vienādojumu f(xy) = f(x)f(y).
8. Atrisināt funkcionālvienādojumu f(x) = f(2x) nepārtraukto funkciju klasē. Pierādīt,
ka visur pārtrauktā Dirihlē funkcija
1, ja x ∈ Q,
f(x) =
1, ja x ∈ I,
apmierina ˇso funkcionālvienādojumu.
9. Atrast nepārtrauktu funkciju f(x), kura nav identiski vienāda ar nulli un kura apmierina
funkcionālvienādojumu f(x − y) = f(x)f(y) jebkuriem x, y ∈ R.
10. Atrast visas funkcijas f(x), kuras apmierina funkcionālvienādojumu xf(y)+yf(x) =
(x + y)f(x)f(y) jebkuriem x, y ∈ R. Pierādīt, ka tikai divas no ˇsīm funkcijām ir
nepārtrauktas.
11. Pieņemsim, ka nepārtraukta funkcija f : R → R vienlaicīgi apmierina funkcionālvienādojumus
f(x + y) = f(x) + f(y) un f(xy) = f(x)f(y) jebkuriem x, y ∈ R.
Pierādīt, ka vai nu f(x) ≡ 0, vai arī f(x) = x.