PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

20 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
40 f(0) = 0,
6 ′ 0 f(λx) = λf(x) jebkuriem λ ∈ Q un x ∈ R,
tika pierādītas, izmantojot tikai 2.1. definīcijas 10 nosacījumu. Tāpēc dotais attēlojums
f apmierina ˇsīs īpaˇsības.
Pieņemsim, ka (xn) ir patval¸īga no nulles atˇsk¸irīgu reālu skaitl¸u virkne, kas konverˇgē
uz punktu x0 = 0, bet (λn) - patval¸īga pozitīvu racionālu skaitl¸u virkne, ka lim λn = +∞
n→∞
un lim λnxn = 0. Uzskatīsim, ka λnxn ∈ U jebkuram n ∈ N. Atzīmēsim, ka ˇsāda virkne
n→∞
(λn) eksistē, piemēram, ja
1
|xn| < λn < 2
|xn| ,
tad iegūsim virkni (λn), kura apmierina iepriekˇs minētos nosacījumus. Tā kā
|f(xn)| =
f
1
· λnxn = 1
|f (λnxn)| ≤ M
,
λn
tad lim
n→∞ f(xn) = 0 = f(0), t.i., f - nepārtraukts attēlojums punktā x0 = 0.◭
2.3. piezīme. No 9 0 īpaˇsības seko, ka, ja 2.1. definīcijā 2 0 nosacījumu nomainīt ar
nosacījumu:
2 ′′ 0 f - ierobeˇzots attēlojums kādā punkta x0 = 0 apkārtnē,
tad iegūsim ekvivalentu definīciju (punkta x0 = 0 vietā var ņemt jebkuru citu punktu
x ∈ R).
10 0 Ja f : R → R ir monotons grupas R + homomorfisms sevī, tad f : R → R -
nepārtraukts grupas R + homomorfisms sevī.
◮ Pieņemsim, ka f : R → R ir monotons grupas R + attēlojums f apmierina īpaˇsību
6
homomorfisms sevī. Tad
′ 0 f(λx) = λf(x) jebkuriem λ ∈ Q un x ∈ R,
jo ˇsīs īpaˇsības pierādījumā tika izmantots tikai 2.1. definīcijas 10 nosacījums. Tāpēc
f ± 1
n · 1 = ± 1
1
1
f(1) jebkuram n ∈ N. Tātad, ja − < x < , tad, ņemot vērā funkcijas
n n n
f monotonitāti, iegūsim |f (x)| ≤ 1
n |f (1)|, t.i., funkcija f ir ierobeˇzota punkta x0 = 0
apkārtnē U = − 1
1
0 +
; . No 9 īpaˇsības seko, ka f : R → R - nepārtraukts grupas R n n
homomorfisms sevī.◭
2.4. piezīme. No 10 0 īpaˇsības seko, ka, ja 2.1. definīcijā 2 0 nosacījumu nomainīt ar
nosacījumu:
2 ′′′ 0 f - monotons attēlojums,
tad iegūsim ekvivalentu definīciju.
2.1.5. Afīnās funkcijas jēdziens
Skolas matemātikā ar lineāru funkciju saprot funkciju g(x) = ax + b. Acīmredzot,
ja b = 0, tad ˇsī funkcija neapmierina 2.1. definīciju. Lai arī uz funkciju g(x) = ax + b,
b = 0, varētu attiecināt terminu “lineārā funkcija”, tad ir dabiski ˇso funkciju nosaukt
par lineāru nehomogēnu funkciju, bet funkciju, kas apmierina 2.1. definīciju, - par
lineāru homogēnu funkciju. Tomēr bieˇzāk funkciju g(x) = ax + b sauc par afīno
funkciju vai afīni-lineāru funkciju.
λn
λn