PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

64 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
Pierādīt, ka
a; zb
d =
zc
zc
a; d .
zb
Noskaidrot ˇsādas leņk¸u saskaitīˇsanas definīcijas ˇgeometrisko jēgu (zc un zb ir 2.14. definīcijā
aplūkotie kompleksie skaitl¸i).
23. Pierādīt, ka visu plaknes leņk¸u kopa An attiecībā pret saskaitīˇsanas operāciju (skat.
2.14. definīciju) ir komutatīva grupa, kuras neitrālais elements ir leņk¸is [〈a; a〉], bet
leņk¸a [〈a; b〉] simetriskais elements ir leņk¸is [〈b; a〉].
24. Formulēt leņk¸u saskaitīˇsanas definīciju, plaknes R 2 elementu reizināˇsanas ar kompleksiem
skaitl¸iem z ∈ S vietā izmantojot plaknes R 2 rotācijas (t.i., matricas no
grupas SO2).
25. Pierādīt formulu 〈u; v〉 = u v cos [〈ku; kv〉] (skat. 2.7.2. apakˇsparagrāfa 7 0 īpaˇsību),
plaknes R 2 elementu reizināˇsanas ar kompleksiem skaitl¸iem z ∈ S vietā izmantojot
plaknes R 2 rotācijas (t.i., matricas no grupas SO2).
26. Pierādīt, ka nepārtraukts homomorfisms f : S → R • apmierina vienādību f(cos t +
i sin t) = a bt jebkuram t ∈ R un reducējas uz elementārajām funkcijām a b arccos x un
a b arcsin x , kur a,b - fiksēti reāli skaitl¸i, ka a > 0, a = 1 un b = 0.
27. Pierādīt, ka nepārtraukts homomorfisms f : S → S apmierina vienādību f(cos t +
i sin t) = cos bt + i sin bt jebkuram t ∈ R un reducējas uz elementārajām funkcijām
cos(b arccos x), sin(b arccos x), cos(b arcsin x) un sin(b arcsin x), kur b - fiksēts reāls
skaitlis.
28. Atrast visas nepārtrauktas funkcijas f : R → R, kuras ir atˇsk¸irīgas no konstantām
funkcijām un kuras apmierina vienādību f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y) jebkuriem
x, y ∈ R.
29. Atrast visas nepārtrauktas funkcijas f : R → R, kuras ir atˇsk¸irīgas no nullfunkcijas
un kuras apmierina vienādību f 2 (x) − f 2 (y) = f(x + y)f(x − y) jebkuriem x, y ∈ R.
30. Atrast visas nepārtrauktas funkcijas f : R → R un g : R → R, kuras apmierina
vienādības f(x + y) = f(x)f(y) − g(x)g(y) un g(x + y) = f(x)g(y) + f(y)g(x)
jebkuriem x, y ∈ R, pie tam f(0) = 1 un g(0) = 0.