PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

48 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
Acīmredzot, cos x = cos2π x un sin x = sin2π x.
No 2.12. definīcijas un 2.10. teorēmas seko ˇsādi apgalvojumi.
2.13. teorēma. Jebkuram a > 0 eksistē vienīgs skaitliska argumenta kosinuss un sinuss
ar bāzi a.
2.14. teorēma. Eksistē vienīgs skaitliska argumenta kosinuss un sinuss.
2.6.2. Skaitliska argumenta sinusa un kosinusa īpaˇsības
Skaitliska argumenta kosinusa un sinusa īpaˇsības seko no eksponentes e2π(x) ar bāzi
2π īpaˇsībām, kā arī komplekso skaitl¸u lauka C īpaˇsībām.
1 0 cos 2 x + sin 2 x = 1 jebkuram x ∈ R.
◮ Apskatīsim patval¸īgu x ∈ R. Tā kā eksponentes e2π(x) vērtības pieder vienības
riņk¸a līnijai S, tad
1 = |e2π(x)| = | cos x + i sin x| =
no kurienes seko, ka cos 2 x + sin 2 x = 1.◭
cos 2 x + sin 2 x,
2.31. piezīme. Pēdējā īpaˇsība sniedz pamatojumu tam, ka skaitliska argumenta kosinusu
un sinusu bieˇzi vien sauc par attiecīgi riņk¸a kosinusu un sinusu.
2 0 Jebkuriem x, y ∈ R ir spēkā formulas:
Tā kā
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y, sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y.
◮ Apskatīsim patval¸īgu x ∈ R. No eksponentes 2 0 īpaˇsības seko, ka
e2π(x + y) = e2π(x)e2π(y).
e2π(x + y) = cos(x + y) + i sin(x + y),
e2π(x)e2π(y) = (cos x + i sin x)(cos y + i sin y) =
= (cos x cos y − sin x sin y) + i(sin x cos y + cos x sin y),
tad, ņemot vērā divu kompleksu skaitl¸u vienādības definīciju, iegūsim:
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y, sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. ◭
30 Jebkuram x ∈ R ir spēkā formulas:
cos x + π
= − sin x, sin x +
2
π
= cos x,
2
cos x − π
= sin x, sin x −
2
π
= − cos x.
2