PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

54 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
Apskatīsim attēlojumu g : C ◦ → S, ka g(z) = 1
|z| · z jebkuram z ∈ C◦ . Acīmredzot,
funkcija g ir nepārtraukta, pie tam jebkuriem z, w ∈ C ◦ ir spēkā
g(zw) = zw
|zw|
z w
= ·
|z| |w|
= g(z)g(w),
t.i., g - grupas C ◦ homomorfisms grupā S. Tā kā f = A −1 ◦ g, tad f ir grupas C ◦
nepārtraukts homomorfisms grupā An kā divu nepārtrauktu homomorfismu kompozīcija.◭
2.7.2. Leņk¸iska argumenta kosinusa un sinusa definīcija un īpaˇsības
Apskatīsim funkcijas P1, P2 : C → R, ka P1(z) = Re z, P2(z) = Im z jebkuram z ∈ C.
2.15. definīcija. Par leņk¸iska argumenta kosinusu un sinusu sauc funkcijas cos
un sin, kuras ir attiecīgi funkcijas A : An → S reālā un imaginārā sastāvdal¸a, t.i.,
cos α = (P1 ◦ A)(α) = P1(A(α)), sin α = (P2 ◦ A)(α) = P2(A(α))
jebkuram α ∈ An.
Tātad saskaņā ar definīciju jebkuram α ∈ A ir spēkā A(α) = cos α + i sin α.
Leņk¸iska argumenta sinusa un kosinusa īpaˇsības seko no iepriekˇs apskatīto funkciju A
un A −1 īpaˇsībām.
1 0 cos θ = 1, sin θ = 0.
◮ Tā kā A : An → S ir grupas An izomorfisms par grupu S, tad, protams, A ir
ˇso grupu homomorfisms. Tāpēc grupas An neitrālā elementa θ = [(a; a)], kur a ir kāds
stars ar sākumpunktu O, attēls attēlojumā A ir grupas S neitrālais elements, t.i., skaitlis
1 = (1; 0) ∈ S. Ņemot vērā 2.15. definīciju, secinām, ka cos θ = 1 un sin θ = 0.◭
Leņk¸i d ∈ An sauc par taisnu leņk¸i, ja d = A −1 (i).
2 0 cos d = 0, sin d = 1.
◮ Tā kā A(d) = i = (0; 1) ∈ S, tad ņemot vērā 2.15. definīciju, secinām, ka cos d = 0
un sin d = 1.◭
3 0 cos 2d = −1, sin 2d = 0 (kur 2d = d + d, bet + apzīmē leņk¸u saskaitīˇsanas operāciju
grupā An).
◮ Ņemot vērā, ka A −1 : S → An ir grupas S izomorfisms par grupu An, atrodam:
2d = d + d = A −1 (i) + A −1 (i) = A −1 (i · i) = A −1 (−1).
Tā kā A(2d) = −1 = (−1; 0) ∈ S, tad ņemot vērā 2.15. definīciju, secinām, ka cos 2d = −1
un sin 2d = 0.◭
4 0 Jebkuram α ∈ An ir spēkā
cos(−α) = cos α, sin(−α) = − sin α.