PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

28 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
2.3.2. Logaritmiskās funkcijas īpaˇsības
Pirmās četras logaritmiskās funkcijas īpaˇsības tieˇsi seko no 2.5. un 2.6. definīcijas, izmantojot
iepriekˇs ievesto logaritmiskās funkcijas apzīmējumu f(x) = log a x (a > 0, a=1).
1 0 log a(xy) = log a x + log a y jebkuriem x, y ∈ R>0.
1 ′ 0 loga(x1x2 . . . xk) = log a(x1) + log a(x2) + · · · + log a(xk) jebkuriem x1, x2, . . . , xk ∈ R>0.
◮ Pierāda ar matemātiskās indukcijas principa palīdzību, izmantojot 1 0 īpaˇsību.◭
2 0 Logaritmiskā funkcija log a x ir nepārtraukta funkcija.
3 0 log a a = 1.
4 0 log a 1 = 0.
5 0 log a x −1 = log a 1
x = − log a x jebkuram x ∈ R>0.
◮ Tā kā 0 = f(1) = f x 1
x
= f(x) + f 1
x
6 0 log a x
y = log a x − log a y jebkuriem x, y ∈ R>0.
◮ Tieˇsām,
x
loga = f
y
x 1
= f(x) + f
y
7 0 log a (a x ) = x jebkuram x ∈ R.
, tad f 1
x
= −f (x).◭
1
= f(x) − f(y) = loga x − loga y. ◭
y
◮ ˇ So īpaˇsību pierādīsim, sekojot lineārās funkcijas 6 0 īpaˇsības pierādījuma shēmai, t.i.,
pierādīsim ˇso īpaˇsību, kad x ir naturāls, vesels, racionāls un, visbeidzot, reāls skaitlis.
a) Ja x = n ∈ N, tad, izmantojot 1 0 un 3 0 īpaˇsību, iegūsim:
loga (a n ) = loga(aa · · · a) = loga a + loga + · · · + loga a = 1
+ 1 +
· · · + 1
= n
n
(lai sniegtu stingru ˇsīs īpaˇsības pierādījumu, ir jāizmanto matemātiskas indukcijas princips).
b) Apskatīsim gadījumu, kad x = m ∈ Z.
Ja m > 0, tad īpaˇsība ir pierādīta a) gadījumā.
Ja m = 0, tad, ņemot vērā vienādību a 0 = 1 un 4 0 īpaˇsību, iegūsim:
0
loga a = loga 1 = 0.
Ja m < 0, t.i., m = −n, kur n ∈ N, tad
−n
a = loga (a n ) −1 = − loga (a n ) = −n loga a = −n = m.
log a (a m ) = log a
c) Ja x = 1
n
no kurienes seko, ka log a
, kur n∈N, tad, izmantojot b) gadījumā pierādīto, iegūsim:
n loga a 1
n = loga a 1
n n = loga a = 1,
a 1
n
= 1
n .