PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

32 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
2.15. piezīme. Atzīmēsim, ja a = 1, tad, acīmredzot, ℓa = 0. Savukārt, la = 0, ja
a = 1.
◮ Pierādīsim, ka ℓa = 0, ja a = 1. Pieņemsim pretējo, ka eksistē tāds a = 1, ka
ℓa = 0.
Noteiktības labad pieņemsim, ka a > 1. Tad jebkuram ε > 0 eksistē tāds n ∈ N,
ka skaitlim r = 1
n ir spēkā nevienādība 0 < ar−1 < ε. Pieņemsim, ka k = 1, 2, . . . , n.
r
Tad
n kr (k−1)r
0 < a − 1 = a − a < n aε
= aε,
n
k=1
no kurienes seko, ka a = 1, kas ir pretrunā ar to, ka a > 1.
Sprieˇzot līdzīgi, iegūsim pretrunu arī gadījumā, kad 0 < a < 1.◭
2.16. piezīme. Tagad 2.13. piezīmē teikto ilustrēsim ar piemēru, pierādot, ka eksistē
tāds e > 1, ka
a
ℓa = lim
x→0
x − 1
x = loge a.
◮ Apskatīsim funkciju h : a ↦→ la, kur a ∈ (0; +∞). Pierādīsim, ka ˇsī funkcija ir
monotons grupas R • homomorfisms par grupu R + . Pieņemsim, ka a un b ir patval¸īgi
pozitīvi skaitl¸i.
Tā kā
(ab) x − 1 = b x (a x − 1) + (b x − 1) ,
tad
(ab)
h(ab) = lim
x→0
x − 1
= lim b
x x→0 x ax − 1 b
+ lim
x x→0
x − 1
x
t.i., h ir grupas R• homomorfisms par grupu R + .
= h(a) + h(b),
No otras puses, ja 0 < a < b, tad b > 1. Tāpēc ℓ b > 0, no kurienes seko, ka
a a
h(b) − h(a) = h
b > 0. Tātad h ir stingri augoˇsa funkcija.
a
Ņemot vērā 2.13. piezīmē teikto, secinām, ka eksistē vienīgs skaitlis e, e > 1, ka
h(a) = loge a.◭
2.17. piezīme. Skaitl¸a x ∈ (0; +∞) logaritmu ar ˇso bāzi e sauc par skaitl¸a x naturāllogaritmu
un apzīmē ar ln x, bet skaitli e sauc par naturāllogaritma bāzi. Tātad
a
lim
x→0
x − 1
x
Atseviˇsk¸ā gadījumā, ja a = e, iegūsim:
e
lim
x→0
x − 1
x
= ln a.
= ln e = 1.
Pēdējā formula l¸auj aksiomātiski definēt skaitli e kā tādu skaitli a > 1, ka
a
lim
x→0
x − 1
x
= 1.
Tādējādi 2.16. piezīmes piemērā ir pierādīta skaitl¸a e, kas apmierina ˇso aksiomātisko
definīciju, eksistence un vienīgums.