PAMATELEMENT¯ARO FUNKCIJU AKSIOM¯ATISK¯A TEORIJA

30 II nodal¸a. PAMATELEMENTĀRO FUNKCIJU AKSIOMĀTISKĀ TEORIJA
◮ Tā kā logaritmiskā funkcija log a x ir eksponentfunkcijas a x ar bāzi a = 1 inversā funkcija
(skat. 10 0 īpaˇsību), bet eksponentfunkcija a x ar bāzi a = 1 ir grupas R + izomorfisms
par grupu R • , tad logaritmiskā funkcija log a x ir nepārtraukts grupas R • izomorfisms par
grupu R + (logaritmiskā funkcija ir nepārtraukta saskaņā ar 2 0 īpaˇsību).◭
12 0 Logaritmiskā funkcija log a x ir stingri augoˇsa, ja a > 1, un stingri dilstoˇsa, ja 0 <
a < 1.
◮ Īpaˇsības patiesums seko no tā, ka logaritmiskā funkcija loga x ir eksponentfunkcijas
ax ar bāzi a = 1 inversā funkcija (skat. 100 īpaˇsību), bet eksponentfunkcija ax ir stingri
augoˇsa, ja a > 1, un stingri dilstoˇsa, ja 0 < a < 1 (skat. eksponentfunkcijas 90 īpaˇsību).◭
b x = b loga x jebkuriem b ∈ R un x ∈ R>0 (a > 0, a = 1).
13 0 log a
◮ No vienas puses, saskaņā ar 9 0 īpaˇsību iegūsim:
a loga xb
= x b .
No otras puses, izmantojot eksponentfunkcijas 7 0 īpaˇsību un logaritmiskās funkcijas 9 0
īpaˇsību, atrodam:
a b log a x = a log a x b = x b .
No iegūtajām vienādībām, ņemot vērā eksponentfunkcijasar bāzi a = 1 injektivitāti (kura
b x = b loga x jebkuriem b ∈ R
seko no eksponentfunkcijas 9 0 īpaˇsības), secinām, ka log a
un x ∈ R>0.◭
14 0 log a x = log a c · log c x jebkuriem c, x ∈ R>0, c = 1 (a > 0, a = 1).
◮ No vienas puses, saskaņā ar 9 0 īpaˇsību iegūsim:
a log a x = x.
No otras puses, ņemot vērā eksponentfunkcijas 7 0 īpaˇsību un logaritmiskās funkcijas 9 0
īpaˇsību, atrodam:
a log a c·log c x = a log a c log a x = c log c x = x.
Sprieˇzot līdzīgi kā iepriekˇsējās īpaˇsības pierādījumā, iegūsim vajadzīgo.◭
2.3.3. Teorēma par logaritmiskās funkcijas eksistenci un vienīgumu
2.4. teorēma. Katram a > 0, a=1, eksistē vienīgā logaritmiskā funkcija ar bāzi a ,
t.i., funkcija f : R>0 → R, kura apmierina 2.5. un 2.6. definīcijas nosacījumus 1),
2) un 3).
◮ Tā kā a > 0, a=1, tad eksponentfunkcija a x ir grupas R + izomorfisms par grupu
R • . Tāpēc eksponentfunkcijas a x inversais attēlojums ir grupas R • izomorfisms par grupu
R + . ˇ Sis izomorfisms apmierina 2.5. un 2.6. definīcijas nosacījumus 1), 2) un 3), tātad
ˇsis izomorfisms ir logaritmiskā funkcija ar bāzi a. Logaritmiskās funkcijas eksistence ir
pierādīta.
Ja eksistē divas funkcijas, kuras apmierina 2.5. un 2.6. definīcijas nosacījumus 1), 2)
un 3), tad katra no ˇsīm funkcijām ir eksponentfunkcijas ar bāzi a inversā funkcija. Tāpēc
ˇsīs funkcijas ir vienādas (skat. [7, 39. lpp.]).◭